Sistemi di vettori linearmente indipendenti e dipendenti.

[turtle87crociato]

Oggi riflettevo su questi due concetti, e mi sono chiesto, cercando di mettere ordine nel marasma di teoremi che mi sono stati dati, magari facendo un quadro unitario, costruendo insomma una "teoria degli spazi e dei sottospazi ", perché fossero stati introdotti questi due concetti, visto che ai fini pratici (per la cronaca, studio Ingegneria, quindi l'algebra lineare ha una formalizzazione meno teorica, rispetto a come credo la si faccia a Matematica), a noi interessa solo sapere, datoci un sistema di vettori, se ognuno di essi sia o meno combinazione lineare degli altri.

Il problema è proprio stupido, me ne rendo conto, tuttavia, in un classico dubbio amletico che mi ha acchiappato, ho provato a vedere se, per i miei scopi, la definizione di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti, avesse una qualche utilità in sé, e non semplicemente come una proposizione che dopo varie dimostrazioni diventa equivalente a quelle affermazioni che veramente ci servono (esiste almeno un vettore dipendente dagli altri, nessun vettore è dipendente dagli altri, due vettori sono proporzionali, etc.), e che proprio in virtù di questa equivalenza possa servire a qualcosa. Alla fine sono arrivato alla conclusione, che mi è parso di capire anche riascoltando le mie lezioni, che esse servono in realtà solo per dimostrare quelle che ho messo tra parentesi, e, in virtù dell'equivalenza, possono essere utilizzate in alcuni esercizi per dimostrare, i.e., che tra n vettori ve ne sia qualcuno che dipenda linearmente dagli altri, ponendoli in una combinazione lineare del vettore nullo, e verificando che esistano tre scalari di cui almeno uno diverso da zero, etc.

Quello che chiedo è ovviamente un supporto da parte vostra.

[Feliciano1]

ciao
mi pare di aver capito ceh cerchi una "materializzazione" del concetto di indipendenza lineare; cioè aldilà delle definizioni e dei teoremi cosa significa PRATICAMENTE che due vettori sono indipendenti.

Da studente di ingegneria credo che la domanda sia abbastanza lecita e per come la vedo io, studente di ingegneria, puoi pensare ad un sistema di equazioni AX=B e puoi vedere ogni linea come se fosse un vettore: detto a bassa voce un vettore (equazione) è INDIPENDENTE dagli altri se porta una nuova informazione. Cioè
Il sistema formato dalle equazioni
3x+y=2 e 3x-y=5 sono due equazioni in due incognite e si può risolvere (a meno che non viene impossibile perchè ho inventato ora i numeri ma il concetto è che NON è indeterminato)
Se consideriamo invece il sistema 3x+y=2 e 6x+2y=4 sono sempre due equazioni in due incognite ma come vedi non possiamo risolverlo perchè la seconda equazione è dipendente dalla prima quindi non ci dà nessuna nuova informazione.

Spero solo di non averti confuso o peggio aver detto cose sbagliate