Sistemi di vettori liberi
Un esercizio chiede:
Dire per quali valori del parametro t il seguente sistema di vettori è libero:
{(1,2,2),(1,0,0),(0,t,1)}
Ho provato a svolgerlo ma mi risulta che è libero per qualsiasi valore di t però non sono molto sicura di aver fatto bene.
Mi aiutate a svolgerlo?
Grazie mille
Dire per quali valori del parametro t il seguente sistema di vettori è libero:
{(1,2,2),(1,0,0),(0,t,1)}
Ho provato a svolgerlo ma mi risulta che è libero per qualsiasi valore di t però non sono molto sicura di aver fatto bene.
Mi aiutate a svolgerlo?
Grazie mille
Risposte
ma qual'è il procedimento preciso?
io ho fatto:
x(1,2,2)+y(1,0,0)+z(0,t,1)=0
e poi svolgo il sistema
$\{(x+y=0),(2x+tz=0),(2x+z=0):}$
io ho fatto:
x(1,2,2)+y(1,0,0)+z(0,t,1)=0
e poi svolgo il sistema
$\{(x+y=0),(2x+tz=0),(2x+z=0):}$
Il procedimento preciso è il seguente:
si scrive la matrice
$A=((1,2,2),(1,0,0),(0,t,1))$
Per definizione, il rango di $A$ è il numero di righe di $A$ linearmente indipendenti.
Se il rango è $3$ (cioè se $det\ A\ne 0$) allora le tre righe sono linearmente indipendenti e quindi il sistema di vettori è libero. Altrimenti no.
In generale, dati $k$ vettori puoi scrivere la matrice delle componenti rispetto ad una base. Se il rango di tale matrice è $k$ allora i tuoi vettori formeranno un sistema libero, altrimenti no.
si scrive la matrice
$A=((1,2,2),(1,0,0),(0,t,1))$
Per definizione, il rango di $A$ è il numero di righe di $A$ linearmente indipendenti.
Se il rango è $3$ (cioè se $det\ A\ne 0$) allora le tre righe sono linearmente indipendenti e quindi il sistema di vettori è libero. Altrimenti no.
In generale, dati $k$ vettori puoi scrivere la matrice delle componenti rispetto ad una base. Se il rango di tale matrice è $k$ allora i tuoi vettori formeranno un sistema libero, altrimenti no.
però in questo modo non so i valori di t.
Penso che si deve svolgere con il sistema.
Penso che si deve svolgere con il sistema.
Si ha che $det\ A=2t-2$. Quindi il rango di $A$ è $3$ per $t\ne 1$ ed è $2$ per $t=1$.
Se $t\ne 1$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Se $t=1$ non lo sono. E d'altra parte se $t=1$, il terzo vettore si ottiene sottraendo il secondo dal primo.
Con il sistema è la stessa cosa: il sistema di tre vettori è libero se l'unica soluzione del sistema è la terna $(0,0,0)$, cioè devi provare che la matrice dei coefficienti ha determinante diverso da zero. Praticamente quello che ho fatto io.
Se $t\ne 1$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Se $t=1$ non lo sono. E d'altra parte se $t=1$, il terzo vettore si ottiene sottraendo il secondo dal primo.
Con il sistema è la stessa cosa: il sistema di tre vettori è libero se l'unica soluzione del sistema è la terna $(0,0,0)$, cioè devi provare che la matrice dei coefficienti ha determinante diverso da zero. Praticamente quello che ho fatto io.
Mettiamo un attimo da parte i determinanti e svolgiamo un attimo solo il sistema.
Per essere libero deve venire (0,0,0) come hai detto tu.
x(1,2,2)+y(1,0,0)+z(0,t,1)=0
$\{(x+y=0),(2x+tz=0),(2x+z=0):}$
$\{(x=-y),(-2y+tz=0),(-2y+z=0):}$
$\{(x=-y),(-2y+t2y=0),(z=2y):}$
$\{(x=-y),((-2+t2)y=0),(z=2y):}$
$\{(x=0),(y=0/(-2+t2)=0),(z=0):}$
y sarà sempre =0 perchè 0 diviso qualsiasi numero da sempre zero e quindi il sistema sarà sempre libero per qualsiasi valore di t....
Cosa sbaglio? (volendo sempre svolgere l'esercizio solo tramite sistema)
Per essere libero deve venire (0,0,0) come hai detto tu.
x(1,2,2)+y(1,0,0)+z(0,t,1)=0
$\{(x+y=0),(2x+tz=0),(2x+z=0):}$
$\{(x=-y),(-2y+tz=0),(-2y+z=0):}$
$\{(x=-y),(-2y+t2y=0),(z=2y):}$
$\{(x=-y),((-2+t2)y=0),(z=2y):}$
$\{(x=0),(y=0/(-2+t2)=0),(z=0):}$
y sarà sempre =0 perchè 0 diviso qualsiasi numero da sempre zero e quindi il sistema sarà sempre libero per qualsiasi valore di t....
Cosa sbaglio? (volendo sempre svolgere l'esercizio solo tramite sistema)
"Marix":
$\{(x=-y),((-2+t2)y=0),(z=2y):}$
$\{(x=0),(y=0/(-2+t2)=0),(z=0):}$
Sbagli in questo passaggio. Se $t=1$, hai diviso per $0$.
Quindi il sistema ammette l'unica soluzione $(0,0,0)$ se $t\ne 1$, mentre se $t=1$ ammette $\infty^1$ soluzioni date da
$\{(x=-\rho),(y=\rho),(z=2\rho):}$
quindi devo calcolare il valore di t che fa diventare il determinatore 0 e perciò il sistema è libero per t diverso da quel valore?
Sì. Il motivo è il seguente: il sistema di vettori è libero se e solo se il sistema ammette la terna nulla come unica soluzione.
In questo caso per $t\ne1$ l'unica soluzione, come hai fatto tu, è quella nulla, quindi per $t\ne1$ il sistema è libero.
Per $t=1$ ci sono soluzioni non banali per il sistema o equivalentemente ci sono combinazioni lineari dei tre vettori con scalari non tutti nulli. Quindi il sistema di vettori non è libero.
In questo caso per $t\ne1$ l'unica soluzione, come hai fatto tu, è quella nulla, quindi per $t\ne1$ il sistema è libero.
Per $t=1$ ci sono soluzioni non banali per il sistema o equivalentemente ci sono combinazioni lineari dei tre vettori con scalari non tutti nulli. Quindi il sistema di vettori non è libero.
ok grazie mille!
Prego! 
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