Sistemi di Equazioni lineari e matrici
Ciao a tutti ragazzi! Sto preparando l'esame di Matematica Generale della facoltà di Economia e non riesco a risolvere questo esercizio. Probabilmente sbaglio l'impostazione del sistema.
L'Urban College sta programmando i suoi corsi di matematica discreta, matematica finanziaria e metodi informatici. Ogni sezione di matematica discreta raccoglie 40 studenti e frutta al college 1000€ per studente, ogni sezione di matematica finanziaria è composta da 40 studenti e frutta al college 1500 €per studente, mentre ciascuna sezione di metodi informatici è composta da 10 studenti e frutta 2000€ per studente. Assumendo che il college sia in grado di offrire un massimo di 6 sezioni, intenda sistemare 210 studenti e guadagnare 260.000 euro, quante sezioni di ciascun corso deve organizzare?
Ho impostato il seguente sistema
x=matematica discreta
y=matematica finanziaria
z=metodi informatici
$40x + 40y + 10z = 210$
$40000x + 60000y + 20000z = 260000$
$x+y+z=6$
Non mi viene il risultato che è 3 sezioni di matematica discreta, 2 di matematica finanziaria e 1 di metodi informatici
L'Urban College sta programmando i suoi corsi di matematica discreta, matematica finanziaria e metodi informatici. Ogni sezione di matematica discreta raccoglie 40 studenti e frutta al college 1000€ per studente, ogni sezione di matematica finanziaria è composta da 40 studenti e frutta al college 1500 €per studente, mentre ciascuna sezione di metodi informatici è composta da 10 studenti e frutta 2000€ per studente. Assumendo che il college sia in grado di offrire un massimo di 6 sezioni, intenda sistemare 210 studenti e guadagnare 260.000 euro, quante sezioni di ciascun corso deve organizzare?
Ho impostato il seguente sistema
x=matematica discreta
y=matematica finanziaria
z=metodi informatici
$40x + 40y + 10z = 210$
$40000x + 60000y + 20000z = 260000$
$x+y+z=6$
Non mi viene il risultato che è 3 sezioni di matematica discreta, 2 di matematica finanziaria e 1 di metodi informatici
Risposte
Il tuo sistema mi pare giusto, probabilmente hai fatto qualche errore di calcolo/distrazione nel risolverlo
La matrice associata al sistema e': (il | separa coefficenti e termini noti)
\(A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 &| & 6\\
40 & 40 & 10&| & 210\\
40000 & 60000 & 20000&| & 260000
&
\end{bmatrix}\)
Col metodo di eliminazione di Gauss annulliamo il primo coefficente di \(A_2\) e \(A_3\), ovvero sostituiamo \(A_2\) con \(A_2-40A_1\) e \(A_3\) con \(A_3-40000A_1\) ottenendo la seguente matrice:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 &| & 6\\
0 & 0 & -30&| & -30\\
0 & 20000 & -20000&| & 20000
&
\end{bmatrix}\)
da cui ricaviamo immediatamente \(z=1\), sostituendo il valore di \(z\) nell'equazione rappresentata da \(A_3\) otteniamo \(y=2\) e per avere \(x\) ci basta sottrare i 2 risultati ottenuti da 6
Se qualcosa non e' chiaro chiedi pure, matrix algebra me la sono fatta tutta per conto mio (sono in quarta superiore) ma dovrebbe essere giusto
edit:
A quanto pare in italiano si chiama metodo di eliminazione di gauss, prima avevo scritto eliminazione gaussiana traducendo dall'inglese...
La matrice associata al sistema e': (il | separa coefficenti e termini noti)
\(A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 &| & 6\\
40 & 40 & 10&| & 210\\
40000 & 60000 & 20000&| & 260000
&
\end{bmatrix}\)
Col metodo di eliminazione di Gauss annulliamo il primo coefficente di \(A_2\) e \(A_3\), ovvero sostituiamo \(A_2\) con \(A_2-40A_1\) e \(A_3\) con \(A_3-40000A_1\) ottenendo la seguente matrice:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 &| & 6\\
0 & 0 & -30&| & -30\\
0 & 20000 & -20000&| & 20000
&
\end{bmatrix}\)
da cui ricaviamo immediatamente \(z=1\), sostituendo il valore di \(z\) nell'equazione rappresentata da \(A_3\) otteniamo \(y=2\) e per avere \(x\) ci basta sottrare i 2 risultati ottenuti da 6
Se qualcosa non e' chiaro chiedi pure, matrix algebra me la sono fatta tutta per conto mio (sono in quarta superiore) ma dovrebbe essere giusto
edit:
A quanto pare in italiano si chiama metodo di eliminazione di gauss, prima avevo scritto eliminazione gaussiana traducendo dall'inglese...
Grazie mille, non mi ero semplicemente accorto che avevo ottenuto z=1 e ho continuato il calcolo.
Ho un altro problema, se non vi dispiace.
Uno studio del 1980 sulla mortalità ordinaria ha ricavato una tabella che riportava, in riferimento agli uomini di 32, 50 e 60 anni, le cifre seguenti: I tassi di mortalità nel 1980 erano rispettivamente 0,2%, 0,7% e 1,5% e ciò comportava un totale di 202.000 morti in una popolazione di 26.5 milioni di uomini delle tre età considerate. Dato che i 32enni erano 500.000 di più degli uomini di 50 anni, quanti erano gli uomini di ciascuna età considerata?
Io ho impostato
x=uomini 32 anni
y=uomini 50 anni
z=uomini 60 anni
$0,2x+0,7y+1,5z=202000$
$x+y+z=26500000$
$x-y=500000$
Questo non mi viene. Mi piacerebbe solo sapere l'impostazione del problema, non il calcolo in sé. Vi ringrazio
Ora non me ne vengono più e sono in difficoltà
Ho anche questo:
Nel 75esimo Congresso degli USA, alla Camera dei deputati vi erano 333 democratici, 89 repubblicani e 13 membri di altri partiti. Supponete che una legge sia stata approvata dalla Camera con 31 voti a favore in più rispetto a quelli contrari, che il numero dei democratici favorevoli fosse 10 volte quello dei repubblicani e che i non democratici contrari fossero 36 in più di quelli favorevoli. QUanti membri di ciascun partito hanno votato a favore della legge?
Io in questo ho impostato x= Democratici, y=repubblicani, z =altri partiti
Il Sistema, però, non so proprio come farlo. Sono arrivato alla conclusione solo di un'equazione, ovvero che x=10y.
Per esempio i non democratici (repubblicani + altri partiti) sono 102. Benissimo, dato che ci sono stati 36 voti in più da parte dei contrari, come imposto l'equazione? Non l'ho proprio compreso.
Ho un altro problema, se non vi dispiace.
Uno studio del 1980 sulla mortalità ordinaria ha ricavato una tabella che riportava, in riferimento agli uomini di 32, 50 e 60 anni, le cifre seguenti: I tassi di mortalità nel 1980 erano rispettivamente 0,2%, 0,7% e 1,5% e ciò comportava un totale di 202.000 morti in una popolazione di 26.5 milioni di uomini delle tre età considerate. Dato che i 32enni erano 500.000 di più degli uomini di 50 anni, quanti erano gli uomini di ciascuna età considerata?
Io ho impostato
x=uomini 32 anni
y=uomini 50 anni
z=uomini 60 anni
$0,2x+0,7y+1,5z=202000$
$x+y+z=26500000$
$x-y=500000$
Questo non mi viene. Mi piacerebbe solo sapere l'impostazione del problema, non il calcolo in sé. Vi ringrazio
Ora non me ne vengono più e sono in difficoltà
Ho anche questo:
Nel 75esimo Congresso degli USA, alla Camera dei deputati vi erano 333 democratici, 89 repubblicani e 13 membri di altri partiti. Supponete che una legge sia stata approvata dalla Camera con 31 voti a favore in più rispetto a quelli contrari, che il numero dei democratici favorevoli fosse 10 volte quello dei repubblicani e che i non democratici contrari fossero 36 in più di quelli favorevoli. QUanti membri di ciascun partito hanno votato a favore della legge?
Io in questo ho impostato x= Democratici, y=repubblicani, z =altri partiti
Il Sistema, però, non so proprio come farlo. Sono arrivato alla conclusione solo di un'equazione, ovvero che x=10y.
Per esempio i non democratici (repubblicani + altri partiti) sono 102. Benissimo, dato che ci sono stati 36 voti in più da parte dei contrari, come imposto l'equazione? Non l'ho proprio compreso.
All'inizio della sezione di geometria e algebra lineare c'è una descrizione su come si risolvono i sistemi lineari. Tieni conto che in questo forum è richiesto un tentativo di intervento da parte tua che, possibilmente, non si limiti a tradurre il problema in formule.
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
Chiedo scusa se ho sbagliato sezione. Per il resto di problemi ne ho risolti parecchi, mi sono incartato con questi due qua, tutto qui.
Per la sezione non preoccuparti, ero anche io indeciso su dove metterlo.
Comunque tu hai la equazione matriciale:
\[ \begin{pmatrix} 0.2 & 0.7 & 1.5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}202000 \\ 26500000 \\ 500000 \end{pmatrix} \]
Per comodità moltiplichiamo 5 la prima equazione ricavando:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 26500000 \\ 500000 \end{pmatrix} \]
A questo punto sottrai alla seconda e le terza equazione la prima ricavando:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 0 & -2.5 & -6.5 \\ 0 & -4.5 & -7.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 25490000 \\ -510000 \end{pmatrix} \]
Per comodità moltiplichiamo la terza anche per -1.
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 0 & -2.5 & -6.5 \\ 0 & 4.5 & 7.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 25490000 \\ 510000 \end{pmatrix} \]
A questo punto elimini il coefficiente della y dalla terza equazione e risolvi per sostituzione.
Comunque tu hai la equazione matriciale:
\[ \begin{pmatrix} 0.2 & 0.7 & 1.5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}202000 \\ 26500000 \\ 500000 \end{pmatrix} \]
Per comodità moltiplichiamo 5 la prima equazione ricavando:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 26500000 \\ 500000 \end{pmatrix} \]
A questo punto sottrai alla seconda e le terza equazione la prima ricavando:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 0 & -2.5 & -6.5 \\ 0 & -4.5 & -7.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 25490000 \\ -510000 \end{pmatrix} \]
Per comodità moltiplichiamo la terza anche per -1.
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3.5 & 7.5 \\ 0 & -2.5 & -6.5 \\ 0 & 4.5 & 7.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1010000 \\ 25490000 \\ 510000 \end{pmatrix} \]
A questo punto elimini il coefficiente della y dalla terza equazione e risolvi per sostituzione.
Allora era giusta l'impostazione 
Grazie mille comunque!
Grazie mille comunque!
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