Sistemi con parametro
Determinare i valori del parametro reale \(\displaystyle h \) per i quali il sistema
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
hx + y =1\\
50x + (h+5)y = 10
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
ammette una sola soluzione, infinite soluzioni, nessuna soluzione
per determinare queste tipologie di soluzioni mi sono affidato al teorema di Rouchè-Capelli ma incontro dei problemi di calcolo quando devo trovare il valore del parametro \(\displaystyle h \) per quale la matrice dei coefficenti del sistema \(\displaystyle {\mathcal A} = \left(
\begin{array}{ccc}
h & 1 \\
50 & h+5 &
\end{array}
\right) \) e la matrice completa \displaystyle {\mathcal C} = \left(
\begin{array}{ccc}
h & 1 & 1 \\
50 & h+5 & 10 &
\end{array}
\right) \) devono avere rango diverso..e quando il sistema deve avere \(\displaystyle \infty \) soluzioni cioè quando il grado delle 2 matrici deve essere inferiore al numero di incognite..Per quel che riguarda le \(\displaystyle \infty \) soluzioni porto la matrice dei coefficienti al rango \(\displaystyle 1 \) rendendo la seconda riga combinazione lineare della prima. in modo tale da avere \(\displaystyle n > r \) il problema lo incontro nel portare la matrice completa al rango \(\displaystyle 1 \) perchè con lo stesso valore di \(\displaystyle h \) per cui la matrice \(\displaystyle A \) ha rango 1 in quella completa solo uno dei minori si annulla l'altro ha determinante diverso da 0..come dovrei fare per renderle tutte e 2 di rango \(\displaystyle 1 \)...L'altro problema è strettamente legato a questo cioè per i stessi valori di \(\displaystyle h \) per cui riduco la matrice \(\displaystyle A \) al rango \(\displaystyle 1 \) mi viene anche che il sistema non ammette soluzioni..quello che succede mi pare logico perchè essendo una riga combinazione lineare di un'altra e la matrice quadrata di ordine 2 per forza il determinante è 0..Ma non è possibile che ci sia lo stesso valore di \(\displaystyle h \) per cui il sistema ammette sia \(\displaystyle \infty \) soluzioni sia nessuna soluzione...qualcuno mi potrebbe chiarire le idee e magari spiegarmi come dovrei fare..Grazie anticipatamente..
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
hx + y =1\\
50x + (h+5)y = 10
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
ammette una sola soluzione, infinite soluzioni, nessuna soluzione
per determinare queste tipologie di soluzioni mi sono affidato al teorema di Rouchè-Capelli ma incontro dei problemi di calcolo quando devo trovare il valore del parametro \(\displaystyle h \) per quale la matrice dei coefficenti del sistema \(\displaystyle {\mathcal A} = \left(
\begin{array}{ccc}
h & 1 \\
50 & h+5 &
\end{array}
\right) \) e la matrice completa \displaystyle {\mathcal C} = \left(
\begin{array}{ccc}
h & 1 & 1 \\
50 & h+5 & 10 &
\end{array}
\right) \) devono avere rango diverso..e quando il sistema deve avere \(\displaystyle \infty \) soluzioni cioè quando il grado delle 2 matrici deve essere inferiore al numero di incognite..Per quel che riguarda le \(\displaystyle \infty \) soluzioni porto la matrice dei coefficienti al rango \(\displaystyle 1 \) rendendo la seconda riga combinazione lineare della prima. in modo tale da avere \(\displaystyle n > r \) il problema lo incontro nel portare la matrice completa al rango \(\displaystyle 1 \) perchè con lo stesso valore di \(\displaystyle h \) per cui la matrice \(\displaystyle A \) ha rango 1 in quella completa solo uno dei minori si annulla l'altro ha determinante diverso da 0..come dovrei fare per renderle tutte e 2 di rango \(\displaystyle 1 \)...L'altro problema è strettamente legato a questo cioè per i stessi valori di \(\displaystyle h \) per cui riduco la matrice \(\displaystyle A \) al rango \(\displaystyle 1 \) mi viene anche che il sistema non ammette soluzioni..quello che succede mi pare logico perchè essendo una riga combinazione lineare di un'altra e la matrice quadrata di ordine 2 per forza il determinante è 0..Ma non è possibile che ci sia lo stesso valore di \(\displaystyle h \) per cui il sistema ammette sia \(\displaystyle \infty \) soluzioni sia nessuna soluzione...qualcuno mi potrebbe chiarire le idee e magari spiegarmi come dovrei fare..Grazie anticipatamente..
Risposte
Sia $A$ la matrice dei coefficienti e $C$ la matrice completa. A me la discussione viene così:
$h=5 \rightarrow r(A)=r(C)=1$ infinite soluzioni (indeterminato)
$h=-10 \rightarrow 1=r(A) \ne r(C)=2$ nessuna soluzione (incompatibile)
$h \ne 5,-10 \rightarrow r(A)=r(C)=2$ soluzione unica (determinato)
$h=5 \rightarrow r(A)=r(C)=1$ infinite soluzioni (indeterminato)
$h=-10 \rightarrow 1=r(A) \ne r(C)=2$ nessuna soluzione (incompatibile)
$h \ne 5,-10 \rightarrow r(A)=r(C)=2$ soluzione unica (determinato)
vorrei farti un'ultima domanda...quando devo trovare questo tipo di soluzioni basta soltanto trovare il valore del parametro \(\displaystyle h \) quando il determinante si annulla e poi sostituirlo in entrambe le matrici \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle C \) e studiare il loro rango per tali valori...?
Beh dipende. Se il sistema ha lo stesso numero di incognite e di equazioni come in queto caso, praticamente si. Se il numero delle incognite è diverso dal numero di equazioni capirai che non possiamo più parlare di "determinante" della matrice dei coefficienti (che non sarebbe più quadrata) ma ti devi studiare il rango controllando i minori... Poi vabbè non è che esiste una regola per tutti i casi possibili e immaginabili, studia il rango e cerca di usare rouche capelli, tutto qua. 
ho capito..la spiegazione è stata molto utile..grazie di tutto..
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