Sistemi
Ciao!Ho un problema con i sistemi con K !!! Nella risoluzione di sistemi lineari non omogenei in genere procedo nel verificare se innanzi tutto il sistema ha delle possibili soluzioni, quindi verifico che la matrice completa e quella incompleta abbiano lo stesso rango, e se così è vedo se poi combacia o meno con il numero di variabili, quindi determino se ci sono una o infinite soluzioni e procede nel determinarle con il metodo di Cramer, se questo metodo è giusto fin qui ci sono.
Le difficoltà le incontro nel momento in cui devo considerare un sistema lineare non omogeneo con parametro, ho letto e fatto diverse domande su questo argomento, e penso di aver capito il modo in cui si procede, solo che non mi viene subito di interpretare i risultati al variare di k, ora provo a scrivere un sistema e il modo in cui lo risolvo sperando che qualcuno possa dirmi dove è che sbaglio.
Considero il sistema formato dalle due equazioni : 1) kx + 4y= -2 ; 2) x + ky= 1
Bene la prima cosa che faccio è andare a vedere tramite il teorema di Rouchè-Capelli se il mio sistema ha o meno delle soluzioni, quindi se è compatibile o no, perciò devo verificare che rKA=rKAB :
scrivo le due matrici, quella completa AB e quella incompleta A ( con esclusioni quindi del vettore -2,1) e vado a vedere il rKA svolgendo il determinante di questa matrice : $((k,4),(1,k))$ e svolgendolo mi viene un determinante uguale a K^2-4 per cui so che se k è diverso da -2 e +2 il mio determinante è sicuramente diverso da zero e quindi il rkA è massimo cioè 2 mentre per k uguale a -2 e + 2 il mio det è 0 perciò il rKa è 1.
A questo punto so che essendo A una sottomatrice di AB il rkAB è maggiore o al limite uguale a quello di A, ed avendo AB al massimo rango 2 mi viene che rkA=rkAB=2 che è anche uguale al numero delle variabili incognite perciò il sistema per qualsiasi valore di K che non siano 2 e -2 risulta essere determinato cioè avere una sola soluzione ( e qui mi blocco nel senso che non so bene come continuare, non so come verificare che per quei valori di k io non ho soluzioni, e se lo faccio mi viene un sistema per cui y o x si annullano).
Le difficoltà le incontro nel momento in cui devo considerare un sistema lineare non omogeneo con parametro, ho letto e fatto diverse domande su questo argomento, e penso di aver capito il modo in cui si procede, solo che non mi viene subito di interpretare i risultati al variare di k, ora provo a scrivere un sistema e il modo in cui lo risolvo sperando che qualcuno possa dirmi dove è che sbaglio.
Considero il sistema formato dalle due equazioni : 1) kx + 4y= -2 ; 2) x + ky= 1
Bene la prima cosa che faccio è andare a vedere tramite il teorema di Rouchè-Capelli se il mio sistema ha o meno delle soluzioni, quindi se è compatibile o no, perciò devo verificare che rKA=rKAB :
scrivo le due matrici, quella completa AB e quella incompleta A ( con esclusioni quindi del vettore -2,1) e vado a vedere il rKA svolgendo il determinante di questa matrice : $((k,4),(1,k))$ e svolgendolo mi viene un determinante uguale a K^2-4 per cui so che se k è diverso da -2 e +2 il mio determinante è sicuramente diverso da zero e quindi il rkA è massimo cioè 2 mentre per k uguale a -2 e + 2 il mio det è 0 perciò il rKa è 1.
A questo punto so che essendo A una sottomatrice di AB il rkAB è maggiore o al limite uguale a quello di A, ed avendo AB al massimo rango 2 mi viene che rkA=rkAB=2 che è anche uguale al numero delle variabili incognite perciò il sistema per qualsiasi valore di K che non siano 2 e -2 risulta essere determinato cioè avere una sola soluzione ( e qui mi blocco nel senso che non so bene come continuare, non so come verificare che per quei valori di k io non ho soluzioni, e se lo faccio mi viene un sistema per cui y o x si annullano).
Risposte
Grazie mille davvero! quindi se non ho capito male, devo praticamente vedere le soluzioni possibili quando sostituisco 2,-2 e poi in qualsiasi altro caso che non sia 2,-2 e quindi giustamente per K in generale se così si può dire?
In realtà studiando da sola non avevo nemmeno mai affrontato un esercizio con il metodo che mi hai fatto vedere tu .. però me lo studierò se risulta più veloce =). Grazie ancora sei stato gentilissimo oltre che chiaro ! Buone feste 
:)
:)
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