Sistema strano
Salve. Sto cercando di risolvere questo sistema ma c'è qualcosa che non mi torna:
$\{(a + 2*b = 0),(b - c=0),(- a -2*c=0),(a + 3*b - c=0):}$
Dalla prima equazione posso scrivere che a=-2b, dalla seconda che c=b e quindi sostituisco tutto nell'ultima ottenendo:
-2b + 3b - b=0, quindi ottengo un'identità e b è uguale a 0?
Tuttavia nei risultati esistono delle soluzioni: a=2,b=-1,c=-1
Come si fa a risolvere questo sistema?
$\{(a + 2*b = 0),(b - c=0),(- a -2*c=0),(a + 3*b - c=0):}$
Dalla prima equazione posso scrivere che a=-2b, dalla seconda che c=b e quindi sostituisco tutto nell'ultima ottenendo:
-2b + 3b - b=0, quindi ottengo un'identità e b è uguale a 0?
Tuttavia nei risultati esistono delle soluzioni: a=2,b=-1,c=-1
Come si fa a risolvere questo sistema?
Risposte
Le prime tre equazioni sono linearmente dipendenti (la seconda si ottiene sommando metà della prima con metà della terza); ergo una delle tre la puoi "buttare" e consideri il sistema formato dalle due rimanenti e dall'ultima.
Viene comunque come prima... Ossia vengono solo identità...
Effettivamente non avevo notato che anche la terza dipende dalle prime due.
Quindi il sistema si ricude alle prime due equazioni, che sono in tre incognite; pertanto il sistema ha infinite soluzioni, tutte nella forma \((-2c,c,c)\) (con \(c\) libero di variare in \(\mathbb{R}\)) ossia tutte nel sottospazio vettoriale generato dal vettore \((-2,1,1)\) (o \((2,-1,-1)\) che dir si voglia).
Quindi il sistema si ricude alle prime due equazioni, che sono in tre incognite; pertanto il sistema ha infinite soluzioni, tutte nella forma \((-2c,c,c)\) (con \(c\) libero di variare in \(\mathbb{R}\)) ossia tutte nel sottospazio vettoriale generato dal vettore \((-2,1,1)\) (o \((2,-1,-1)\) che dir si voglia).
Perchè col metodo di gauss non riesco a risolverlo?
$((1,2,0),(0,1,-1),(-1,0-1),(1,3,-1))$
Ora riduco per righe: $((1,2,0),(0,1,-1),(0,2,-1),(0,1,-1))$ (terza riga più la prima, quarta riga meno la prima)
Ancora: $((1,2,0),(0,1,-1),(0,0,1),(0,0,0))$ (terza riga meno due volte la seconda, quarta riga meno la seconda)
Ottengo così una matrice ridotta con tre righe, quindi di rango tre. Le soluzini sono finite perchè n-r=0. Dove sbaglio?
$((1,2,0),(0,1,-1),(-1,0-1),(1,3,-1))$
Ora riduco per righe: $((1,2,0),(0,1,-1),(0,2,-1),(0,1,-1))$ (terza riga più la prima, quarta riga meno la prima)
Ancora: $((1,2,0),(0,1,-1),(0,0,1),(0,0,0))$ (terza riga meno due volte la seconda, quarta riga meno la seconda)
Ottengo così una matrice ridotta con tre righe, quindi di rango tre. Le soluzini sono finite perchè n-r=0. Dove sbaglio?
"Superandri91":
Perchè col metodo di gauss non riesco a risolverlo?
$((1,2,0),(0,1,-1),(-1,0-1),(1,3,-1))$
La matrice dei coefficienti non è quella che hai scritto. Quella corretta è
\[ A = \pmatrix{1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & −2 \\ 1 & 3 & −1} \]
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