Sistema risolvibile

[darinter]

Dal teorema di Rouchè-Capelli si sà che un sistema è compatibile se e solo se il numero di incognite è pari al numero di equazioni.Ora se mi trovo in una situazione in cui il numero di incognite è minore di quello delle equazioni il sistema è comunque risolvibile?

[clockover]

Potrebbe come non potrebbe! Dipende da quante equazioni linearmente dipendenti scopri di avere! Sicuramente se il numero di equazioni superano il numero delle incognite avrai delle equazioni linearmente dipendenti!

[dissonance]

"darinter":Dal teorema di Rouchè-Capelli si sà che un sistema è compatibile se e solo se il numero di incognite è pari al numero di equazioni.

No. Non è così. $x-y=0$ è compatibile e non ha tante equazioni quante incognite.

Comunque, un sistema con più equazioni che incognite è a volte detto sovradimensionato. Questi sistemi possono essere compatibili oppure no: un esempio facilissimo lo facciamo con i sistemi di 2 equazioni con 1 incognita
${(x=0), (x=1):}, {(x=1), (2x=2):}$
in cui il primo è incompatibile e il secondo è compatibile. Quello che si può dire è che sicuramente, se il sistema è compatibile, c'è qualche equazione che è combinazione lineare delle altre. La dimostrazione di questo fatto si può organizzare così: se il nostro sistema è di $n$ equazioni per $m$ incognite, con $n>m$, avremo come coefficienti esattamente $n$ $m$-uple di scalari. Dal fatto che $n>m$ segue che c'è qualche $m$-upla che è combinazione lineare delle altre. Dal fatto che il sistema è compatibile segue che anche le corrispondenti equazioni sono combinazione lineare delle altre, che è quello che volevamo dimostrare. (Questo è detto proprio per grandi linee, se ti interessa si può approfondire il discorso. Tra l'altro penso che usando le matrici la dimostrazione si possa rendere ancora più semplice).