Sistema parametrico
Mi aiutereste a risolvere questo sistema, perchè ci sto provando da ore..... 
$ S: {(2x + ky + z = 0), (k-2y + 3ky + 2z = k), (kx + ky + 2z = -2k):} $
ho provato sia con la riduzione a scalini mediante Gauss che con il teorema di Cramer e l'uso dei determinanti ma niente...
ho anche letto la guida alla risoluzione ma un esempio di risoluzione sarebbe magnifico
vi ringrazio in anticipo
$ S: {(2x + ky + z = 0), (k-2y + 3ky + 2z = k), (kx + ky + 2z = -2k):} $
ho provato sia con la riduzione a scalini mediante Gauss che con il teorema di Cramer e l'uso dei determinanti ma niente...
ho anche letto la guida alla risoluzione ma un esempio di risoluzione sarebbe magnifico
vi ringrazio in anticipo
Risposte
$A|b=((2,k,1,|0),(k,-2+3k,2,|k),(k,k,2,|-2k))$
(mi dispiace per la formattazione poco bella)
La matrice $A$ è quadrata, dunque partiamo calcolandone il determinante con la regola di Sarrus:
$det A = 4(3k-2)+2k^2+k^2-(k(3k-2)+4k+2k^2)=3(3k-2)+k^2-4k=k^2 +5k-6=(k-1)(k+6)$
Caso 1: $k\ne 1,-6$
$rank A = rank A|b =3 =$numero incognite. Allora il sistema è determinato. Lascio a te di trovare le soluzioni (puoi usare Cramer).
Caso 2: $k=1$
$rank A<3$. La matrice diventa:
$A|b=((2,1,1,|0),(1,1,2,|1),(1,1,2,|-2))$
Dal minore $|(2,1),(1,1)|\ne 0$ si vede che $rank A=2$. Ora resta da capire se $rank A|b$ è $2$ oppure $3$. Usiamo il metodo degli orlati orlando il minore non nullo già trovato: l'unica possibile orlatura è:
$|(2,1,0),(1,1,1),(1,1,-2)|=-4+1-(2-2)\ne 0$
allora $rank A|b =3$. Dunque il sistema è impossibile.
Caso 3: $k=-6$
Questo lo lascio a te, segui il metodo del caso 2 per risolvere.
Paola
(mi dispiace per la formattazione poco bella)
La matrice $A$ è quadrata, dunque partiamo calcolandone il determinante con la regola di Sarrus:
$det A = 4(3k-2)+2k^2+k^2-(k(3k-2)+4k+2k^2)=3(3k-2)+k^2-4k=k^2 +5k-6=(k-1)(k+6)$
Caso 1: $k\ne 1,-6$
$rank A = rank A|b =3 =$numero incognite. Allora il sistema è determinato. Lascio a te di trovare le soluzioni (puoi usare Cramer).
Caso 2: $k=1$
$rank A<3$. La matrice diventa:
$A|b=((2,1,1,|0),(1,1,2,|1),(1,1,2,|-2))$
Dal minore $|(2,1),(1,1)|\ne 0$ si vede che $rank A=2$. Ora resta da capire se $rank A|b$ è $2$ oppure $3$. Usiamo il metodo degli orlati orlando il minore non nullo già trovato: l'unica possibile orlatura è:
$|(2,1,0),(1,1,1),(1,1,-2)|=-4+1-(2-2)\ne 0$
allora $rank A|b =3$. Dunque il sistema è impossibile.
Caso 3: $k=-6$
Questo lo lascio a te, segui il metodo del caso 2 per risolvere.
Paola
Ti ringrazio tanto della risposta ma ho combinato un guaio perché c'è un errore nella traccia, al posto della prima y nella seconda equazione c'è una x quindi la matrice completa è la seguente:
$ A|b = ((2, k, 1, |0), ((k-2), 3k, 2, |k), (k, k, 2, |-2k)) $
$ A|b = ((2, k, 1, |0), ((k-2), 3k, 2, |k), (k, k, 2, |-2k)) $
Ok... Cmq ora hai una linea guida per la risoluzione, prova tu e dimmi se incontri problemi.
Paola
Paola
ok essendo quadrata la matrice $A$ ne calcolo il determinante
con la regola di sarrus: $ det((2, k, 1), ((k-2), 3k, 2), (k, k, 2)) = (12k+2k^2+k^2-2k) - (3k^2+4k+2k^2-4k) = -2k^2-10k$
si annulla per i valori: $2k^2-10k = 2k(k-5) => k=0, k = 5$
di conseguenza se $k != 0$ e $k != 5$ il sistema è determinato e ammette l'unica soluzione che scrivo direttamente
$Sol(S) = (k/(2(k-5)), (k-14)/(2(k-5)), (3k^3-6k^2-12k)/(2k(k-5)) )$
ora studio i 2 casi separatamente:
se $k=0$ la matrice completa diventa:
$A|b = ((2, 0, 1, |0), (-2, 0, 2, |0), (0, 0, 2,|0))$
il sistema è impossibile
se $k=5$ la matrice completa diventa:
$A|b = ((2, 5, 1, |0), (3, 15, 2, |5), (5, 5, 2,|-10))$
riducendo con Gauss
$ A|b = ((2, 5, 1, |0), (0, 15/2, 1/2, |5), (0, 0, 0, |-5))$
il sistema è impossibile
con la regola di sarrus: $ det((2, k, 1), ((k-2), 3k, 2), (k, k, 2)) = (12k+2k^2+k^2-2k) - (3k^2+4k+2k^2-4k) = -2k^2-10k$
si annulla per i valori: $2k^2-10k = 2k(k-5) => k=0, k = 5$
di conseguenza se $k != 0$ e $k != 5$ il sistema è determinato e ammette l'unica soluzione che scrivo direttamente
$Sol(S) = (k/(2(k-5)), (k-14)/(2(k-5)), (3k^3-6k^2-12k)/(2k(k-5)) )$
ora studio i 2 casi separatamente:
se $k=0$ la matrice completa diventa:
$A|b = ((2, 0, 1, |0), (-2, 0, 2, |0), (0, 0, 2,|0))$
il sistema è impossibile
se $k=5$ la matrice completa diventa:
$A|b = ((2, 5, 1, |0), (3, 15, 2, |5), (5, 5, 2,|-10))$
riducendo con Gauss
$ A|b = ((2, 5, 1, |0), (0, 15/2, 1/2, |5), (0, 0, 0, |-5))$
il sistema è impossibile
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