Sistema parametrico
salve ragazzi posto l'esercizio e come ho provato a risolverlo potete correggermi eventualmente? anzi diciamo sicuramente:
dato il sistema
${(k^2x+y+z=k),(2kx+ky+2z=1):}$
dire al variare di k quando il sistema è compatibile. inoltre posto k=0 calcolare le soluzioni del sistema
allora per la prima parte procedo così
calcolo il rango della matrice completa e non. quello della matrice completa deve essere =0 mentre l'altro uguale a 2 o almeno diverso da 0, allora poichè la matrice è una 2x3 calcolo il minore associato ovvero
$((k^2,1,1),(2k,k,2))$ il minore è $((k^2,1,),(2k,k,))$ il suo determinante è: $k(k^2-2)=0$ cioè $k!=\0, k!=\pmsqrt(2) $
il minore associato alla matrice completa cioè:
$((k^2,k),(2k,1))$ ha come soluzione $k=0$ per avere rango uguale. E qui il primo problema!
quando mi dice di porre K=0 lo faccio e il sistema diventa
${(y+z=0),(2z=1):}$ quindi le sue soluzioni sono $y=-1/2, x=1/2$
ragazzi un aiuto grazie
dato il sistema
${(k^2x+y+z=k),(2kx+ky+2z=1):}$
dire al variare di k quando il sistema è compatibile. inoltre posto k=0 calcolare le soluzioni del sistema
allora per la prima parte procedo così
calcolo il rango della matrice completa e non. quello della matrice completa deve essere =0 mentre l'altro uguale a 2 o almeno diverso da 0, allora poichè la matrice è una 2x3 calcolo il minore associato ovvero
$((k^2,1,1),(2k,k,2))$ il minore è $((k^2,1,),(2k,k,))$ il suo determinante è: $k(k^2-2)=0$ cioè $k!=\0, k!=\pmsqrt(2) $
il minore associato alla matrice completa cioè:
$((k^2,k),(2k,1))$ ha come soluzione $k=0$ per avere rango uguale. E qui il primo problema!
quando mi dice di porre K=0 lo faccio e il sistema diventa
${(y+z=0),(2z=1):}$ quindi le sue soluzioni sono $y=-1/2, x=1/2$
ragazzi un aiuto grazie
Risposte
Ciao, in realtà è forse più semplice di così! 
Scrivo la matrice completa:
\[
\left (
\begin{array}{ccc|c}
k^2 & 1 & 1 & k \\
2k & k & 2 & 1 \\
\end{array}
\right )
\] Per semplificare i calcoli considero il minore $((1, 1), (k, 2))$ il cui determinante è $2-k$.
Se $k != 2$ il determinante non si annulla, quindi la matrice incompleta ha rango $2$, ma anche la completa avrà rango $2$. Questo significa che il sistema ammette soluzione dipendente da un parametro (nel nostro caso la $x$) che si trova come al solito.
Se invece $k=2$ andiamo a sostituire e troviamo la seguente matrice
\[
\left (
\begin{array}{ccc|c}
4 & 1 & 1 & 2 \\
4 & 2 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right )
\] E' evidente che il minore $((4, 1), (4, 2))$ è invertibile, quindi ancora il rango dell'incompleta e quello della completa sono uguali e pari a $2$. Questo significa che il sistema ammette soluzione dipendente da un parametro (nel nostro caso $z$) che si trova come al solito.
Fine.
Ti torna?
Scrivo la matrice completa:
\[
\left (
\begin{array}{ccc|c}
k^2 & 1 & 1 & k \\
2k & k & 2 & 1 \\
\end{array}
\right )
\] Per semplificare i calcoli considero il minore $((1, 1), (k, 2))$ il cui determinante è $2-k$.
Se $k != 2$ il determinante non si annulla, quindi la matrice incompleta ha rango $2$, ma anche la completa avrà rango $2$. Questo significa che il sistema ammette soluzione dipendente da un parametro (nel nostro caso la $x$) che si trova come al solito.
Se invece $k=2$ andiamo a sostituire e troviamo la seguente matrice
\[
\left (
\begin{array}{ccc|c}
4 & 1 & 1 & 2 \\
4 & 2 & 2 & 1 \\
\end{array}
\right )
\] E' evidente che il minore $((4, 1), (4, 2))$ è invertibile, quindi ancora il rango dell'incompleta e quello della completa sono uguali e pari a $2$. Questo significa che il sistema ammette soluzione dipendente da un parametro (nel nostro caso $z$) che si trova come al solito.
Fine.
Ti torna?
Fermo restando che la risoluzione di minomic è più elegante, perché più breve e meno calcolosa, cerco di correggere i passaggi errati della tua.
Avevi cominciato bene, ma ad un certo punto...
Non devi imporre il rango uguale. Hai appena trovato 3 valori di $k$ per cui il determinante si annulla (c'è un po' di confusione tra uguaglianze e disuguaglianze attorno a quel determinante, ma in questo momento è un problema secondario). Il rango è inferiore a 2 se e solo se tutti i minori della matrice hanno determinante nullo. Quindi per stabilire che per $k=0$ il rango è 1 devi calcolare il determinante dei minori ottenuti con tutte le combinazioni di colonne della matrice incompleta. Invece, per far sì che sia 2, basta che anche solo un minore abbia determinante non nullo. E questo è quello che succederà a te: basta prendere la sottomatrice che si ottiene eliminando la prima colonna (per tutti e tre i valori che hai trovato). A questo punto, non ha senso calcolare il rango della matrice completa, poiché quello della incompleta è già massimo e quindi la matrice completa (che ha rango maggiore o uguale a quella incompleta) ha anch'essa rango massimo.
"mi dice" chi?
Le soluzioni del problema per $k=0$ sono le terne $(x,y,z)$ tali che $x \in \mathbb{R}$, $y=-\frac{1}{2}$ e $z=\frac{1}{2}$. Cioè sono infinite con un grado di libertà.
Avevi cominciato bene, ma ad un certo punto...
"kekko022":
il minore associato alla matrice completa cioè:
$((k^2,k),(2k,1))$ ha come soluzione $k=0$ per avere rango uguale. E qui il primo problema!
Non devi imporre il rango uguale. Hai appena trovato 3 valori di $k$ per cui il determinante si annulla (c'è un po' di confusione tra uguaglianze e disuguaglianze attorno a quel determinante, ma in questo momento è un problema secondario). Il rango è inferiore a 2 se e solo se tutti i minori della matrice hanno determinante nullo. Quindi per stabilire che per $k=0$ il rango è 1 devi calcolare il determinante dei minori ottenuti con tutte le combinazioni di colonne della matrice incompleta. Invece, per far sì che sia 2, basta che anche solo un minore abbia determinante non nullo. E questo è quello che succederà a te: basta prendere la sottomatrice che si ottiene eliminando la prima colonna (per tutti e tre i valori che hai trovato). A questo punto, non ha senso calcolare il rango della matrice completa, poiché quello della incompleta è già massimo e quindi la matrice completa (che ha rango maggiore o uguale a quella incompleta) ha anch'essa rango massimo.
"kekko022":
quando mi dice di porre K=0 lo faccio e il sistema diventa
${(y+z=0),(2z=1):}$ quindi le sue soluzioni sono $y=-1/2, x=1/2$
"mi dice" chi?
Le soluzioni del problema per $k=0$ sono le terne $(x,y,z)$ tali che $x \in \mathbb{R}$, $y=-\frac{1}{2}$ e $z=\frac{1}{2}$. Cioè sono infinite con un grado di libertà.
grazie mille ho risolto mi ero confuso su dei passaggi proprio stupidi
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