Sistema ortogonale completo
ho alcune difficoltà con questo esercizio
dimostrare che ${u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$ con n che va da 0 a +inf
è un sistema ortogonale completo per $L^2[-1,1]$
sull'ortogonalità
bisogna dimostrare che $ = int_-1 ^ 1 u_i(x)*u_k(x) dx =0 $ con i diverso da k (ci sarebbe il coniugato di $u_k$ ma siamo sui reali...)
noto che i polinomi $u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n $ sono di grado n e in particolare sono somme (con dei coefficienti) di potenze di x di grado n, n-2, n-4....
questo mi dice immediatamente che se i dispari e k pari allora u_i*u_k è una funzione dispari e quindi il suo integrale tra -1 e 1 è zero.
se però i, k entrambi pari o entrambi dispari non mi viene in mente nulla.
sulla completezza
direi che data la proprietà scritta sopra ogni polinomio P può essere scritto come combinazione lineare dei vari u_n.
localmente ogni funzione appartenente a L^2[-1,1] può essere sviluppata in serie di Taylor, quindi può essere sviluppata sul nostro sistema ortogonale.
ma su questo non sono per niente sicuro!
grazie a chiunque si cimenterà
dimostrare che ${u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$ con n che va da 0 a +inf
è un sistema ortogonale completo per $L^2[-1,1]$
sull'ortogonalità
bisogna dimostrare che $
noto che i polinomi $u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n $ sono di grado n e in particolare sono somme (con dei coefficienti) di potenze di x di grado n, n-2, n-4....
questo mi dice immediatamente che se i dispari e k pari allora u_i*u_k è una funzione dispari e quindi il suo integrale tra -1 e 1 è zero.
se però i, k entrambi pari o entrambi dispari non mi viene in mente nulla.
sulla completezza
direi che data la proprietà scritta sopra ogni polinomio P può essere scritto come combinazione lineare dei vari u_n.
localmente ogni funzione appartenente a L^2[-1,1] può essere sviluppata in serie di Taylor, quindi può essere sviluppata sul nostro sistema ortogonale.
ma su questo non sono per niente sicuro!
grazie a chiunque si cimenterà
Risposte
Per l'ortogonalità...
Fissiamo $n$ e indichiamo con $p(x)$ un generico polinomio di grado minore di $n$.
Consideriamo ora
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx$
e integriamo per parti; risulta
$int (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x) - int (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p'(x) dx$
Adesso notiamo che la funzione
$[(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$
poiché derivando $n-1$ volte, rimarrà sempre un fattore $x^2-1$
Se continuiamo a integrare per parti, a maggior ragione avremo che
$[(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$ $AA k < n$
Siccome $p(x)$ ha grado minore di $n$, dopo un numero di iterazioni pari a $n$ avremo $(d^n)/(dx^n) p(x) = 0$.
Risulta dunque in definitiva
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = 0$
Siccome i polinomi del sistema che stai considerando hanno tutti grado diverso, ogni polinomio sarà ortogonale a tutti i precedenti.
Fissiamo $n$ e indichiamo con $p(x)$ un generico polinomio di grado minore di $n$.
Consideriamo ora
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx$
e integriamo per parti; risulta
$int (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x) - int (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p'(x) dx$
Adesso notiamo che la funzione
$[(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$
poiché derivando $n-1$ volte, rimarrà sempre un fattore $x^2-1$
Se continuiamo a integrare per parti, a maggior ragione avremo che
$[(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$ $AA k < n$
Siccome $p(x)$ ha grado minore di $n$, dopo un numero di iterazioni pari a $n$ avremo $(d^n)/(dx^n) p(x) = 0$.
Risulta dunque in definitiva
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = 0$
Siccome i polinomi del sistema che stai considerando hanno tutti grado diverso, ogni polinomio sarà ortogonale a tutti i precedenti.
ma quello che ti è dato non sono altro che i polinomi di Legendre, che si ottengono dalla famiglia ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ via ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
che siano una parte completa deriva dal fatto che lo è la famiglia "dei monomi" sopra descritta. Ad esempio, ogni funzione continua si può approssimare uniformemente su un intervallo chiuso e limitato con dei polinomi, per via del teorema di (Stone-)Weierstrass. Poi, le funzioni continue sono a loro volta dense in $L^2(0,1)$
questo "esercizio" è roba "di teoria" che si dovrebbe trovare su un manuale normale di analisi funzionale e\o spazi $L^2$
che siano una parte completa deriva dal fatto che lo è la famiglia "dei monomi" sopra descritta. Ad esempio, ogni funzione continua si può approssimare uniformemente su un intervallo chiuso e limitato con dei polinomi, per via del teorema di (Stone-)Weierstrass. Poi, le funzioni continue sono a loro volta dense in $L^2(0,1)$
questo "esercizio" è roba "di teoria" che si dovrebbe trovare su un manuale normale di analisi funzionale e\o spazi $L^2$
@Kroldar
grazie mille!
@Fioravante
interessante, non mi era stato detto. questo "esercizio" è stato dato dal prof di Analisi 2 che ha parlato per un paio di lezioni degli spazi di Hilbert. l'analisi funzionale "vera" la faccio l'anno prossimo.
grazie mille!
@Fioravante
interessante, non mi era stato detto. questo "esercizio" è stato dato dal prof di Analisi 2 che ha parlato per un paio di lezioni degli spazi di Hilbert. l'analisi funzionale "vera" la faccio l'anno prossimo.
tosto, il tuo prof...
bene! è così che si fa
bene! è così che si fa
comunque sono autorizzato ad appuntarmi una piccola stelletta per aver vagamente intuito la dimostrazione della completezza?
(e una a Kroldar ovviamente)
il teorema di Stone-Weierstrass mi sembra di averlo pure fatto
dovrò ricontrollare.
(e una a Kroldar ovviamente)
il teorema di Stone-Weierstrass mi sembra di averlo pure fatto
dovrò ricontrollare.
"Kroldar":
Per l'ortogonalità...
Fissiamo $n$ e indichiamo con $p(x)$ un generico polinomio di grado minore di $n$.
Consideriamo ora
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx$
e integriamo per parti; risulta
$int (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x) - int (d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p'(x) dx$
Adesso notiamo che la funzione
$[(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^(n-1))/(dx^(n-1)) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$
poiché derivando $n-1$ volte, rimarrà sempre un fattore $x^2-1$
Se continuiamo a integrare per parti, a maggior ragione avremo che
$[(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(1) = [(d^k)/(dx^k) (x^2-1)^n p(x)]_(-1) = 0$ $AA k < n$
Siccome $p(x)$ ha grado minore di $n$, dopo un numero di iterazioni pari a $n$ avremo $(d^n)/(dx^n) p(x) = 0$.
Risulta dunque in definitiva
$int_(-1)^1 (d^n)/(dx^n) (x^2-1)^n p(x) dx = 0$
Siccome i polinomi del sistema che stai considerando hanno tutti grado diverso, ogni polinomio sarà ortogonale a tutti i precedenti.
hai avuto a che fare col prof. greco luigi? questa dimostrazione la fece a me nel corso di complementi della specialistica.
@wedge (e Kroldar?)
sì, ma solo perché siamo ancora vicini a Natale...
anzi, a proposito, potremmo riciclare una qualche stella di Natale, come si fa di solito coi regali
sì, ma solo perché siamo ancora vicini a Natale...
anzi, a proposito, potremmo riciclare una qualche stella di Natale, come si fa di solito coi regali
@ wedge
Prego figurati
@ nicola de rosa
La risposta è sì. Con il mitico Luigi Greco ho avuto a che fare eccome!! Se mi sono iscritto al forum è grazie a lui in un certo senso... poco più di un anno fa ero alla ricerca di chiarimenti su roba di Metodi Matematici, esame il cui docente era appunto Greco. Quest'anno nel mio corso è cambiato professore e così centinaia di studenti festeggiano perché finalmente potranno superare l'esame di Metodi che con Greco non avrebbero mai superato. Ho fatto un confronto tra il programma di Metodi Matematici di Greco e quello del professore nuovo... quello di Greco è giusto il triplo. In ogni caso sono soddisfatto di aver avuto Greco e di aver passato con un ottimo voto l'esame con lui. La dimostrazione dell'ortogonalità dei polinomi di Legendre la si trova tranquillamente infatti sugli appunti che stanno sul sito di Greco, sia per Metodi Matematici che per Complementi.
Prego figurati
@ nicola de rosa
La risposta è sì. Con il mitico Luigi Greco ho avuto a che fare eccome!! Se mi sono iscritto al forum è grazie a lui in un certo senso... poco più di un anno fa ero alla ricerca di chiarimenti su roba di Metodi Matematici, esame il cui docente era appunto Greco. Quest'anno nel mio corso è cambiato professore e così centinaia di studenti festeggiano perché finalmente potranno superare l'esame di Metodi che con Greco non avrebbero mai superato. Ho fatto un confronto tra il programma di Metodi Matematici di Greco e quello del professore nuovo... quello di Greco è giusto il triplo. In ogni caso sono soddisfatto di aver avuto Greco e di aver passato con un ottimo voto l'esame con lui. La dimostrazione dell'ortogonalità dei polinomi di Legendre la si trova tranquillamente infatti sugli appunti che stanno sul sito di Greco, sia per Metodi Matematici che per Complementi.
"Fioravante Patrone":
ma quello che ti è dato non sono altro che i polinomi di Legendre, che si ottengono dalla famiglia ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ via ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
che siano una parte completa deriva dal fatto che lo è la famiglia "dei monomi" sopra descritta. Ad esempio, ogni funzione continua si può approssimare uniformemente su un intervallo chiuso e limitato con dei polinomi, per via del teorema di (Stone-)Weierstrass. Poi, le funzioni continue sono a loro volta dense in $L^2(0,1)$
questo "esercizio" è roba "di teoria" che si dovrebbe trovare su un manuale normale di analisi funzionale e\o spazi $L^2$
curioso... quanto dici mi incuriosisce... io ho un pò visto utilizzare i polinomi di Legendre, ma mai lo loro natura (almeno per ora)... a parte la notazione (mi sà che io ho visto chiamare i polinomi di Legendre quella base orto-normalizzata), stavo cercando di applicare Gram-Schmidt a quella base ma ho qualche problema...
in particolare, non dovrebbe venire 1 il coefficienti di grado massimo in ogni polinomio ottenuto dalla ortogonalizzazione? Non devo applicare la formula ricorsiva?
$u_n(x)=x^n-sum_{i=0}^{n-1}\frac{
da cui si vede che se $deg(u_i)<=i$ (come è vero), il coefficiente è unitario????
che c'è che non và?
corretto! Accidenti, che precisini, questi matematici...
vedi, ad esempio:
http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
dove viene detto che bisogna applicare G-S a ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ e poi dividere per $P_n(1)$ (se chiamiamo $P_n$ l'ennesimo polinomio ottenuto con G-S) per ottenere $u_n$
insomma, sono una base ortogonale completa, non ortonormale: $ = 2/(2n+1)$
oltretutto, quelli di wedge ${u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$ NON sono i polinomi di Legendre. C'è di mezzo una costante moltiplicativa, che non compare nella formula di wedge (infatti, il suo prof gli chiedeva di dim che è una parte ortogonale completa, non ortonormale)
quelli di Legendre sono: ${u_n = (1/(2^n \cdot n!)) d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$
s.e.o........
vedi, ad esempio:
http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
dove viene detto che bisogna applicare G-S a ${1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots}$ e poi dividere per $P_n(1)$ (se chiamiamo $P_n$ l'ennesimo polinomio ottenuto con G-S) per ottenere $u_n$
insomma, sono una base ortogonale completa, non ortonormale: $
oltretutto, quelli di wedge ${u_n = d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$ NON sono i polinomi di Legendre. C'è di mezzo una costante moltiplicativa, che non compare nella formula di wedge (infatti, il suo prof gli chiedeva di dim che è una parte ortogonale completa, non ortonormale)
quelli di Legendre sono: ${u_n = (1/(2^n \cdot n!)) d^n /(dx^n) (x^2-1)^n }$
s.e.o........
I polinomi di Legendre sono soluzione dell'equazione differenziale di secondo ordine, detta appunto di Legendre :
$ (1-x^2) y'' -2x y' +n(n+1) = 0 $ che si può anche riscrivere nella forma :
$d/dx[(1-x^2)y'] +n(n+1)y = 0 $.
Ed ecco il grafico dei polinomi $P_1 .. P_5 $ .
$ (1-x^2) y'' -2x y' +n(n+1) = 0 $ che si può anche riscrivere nella forma :
$d/dx[(1-x^2)y'] +n(n+1)y = 0 $.
Ed ecco il grafico dei polinomi $P_1 .. P_5 $ .
Per i più curiosi: c'è un bel collegamento tra ortogonalizzazione GS e fattorizzazione matriciale QR
what are u talking about, luca???
Son curioso anch'io...
Conosci la fattorizzazione QR? In pratica data una matrice quadrata A a coefficienti reali o complessi, essa è sempre decomponibile in A=QR dove Q è una matrice ortogonale e R triangolare superiore. In parole povere Q conterrà una base ortogonale dello spazio, R la sintesi di A sulla base di Q.
Se i coeff sono complessi allora Q è unitaria.
Indovinate come si possono trovare Q e R? (domanda più che retorica)
Se i coeff sono complessi allora Q è unitaria.
Indovinate come si possono trovare Q e R? (domanda più che retorica)
Suppongo A invertibile. Interpreto la matrice A come trasformazione lineare $f$ da $R^n$ in $R^n$, con base euclidea in andata ed in arrivo. Ora prendo $B_1=A(e_i), i=1..n$ che formano una base perchè A inv. Applico GS a questa base (prodotto scalare euclideo), trovando una nuova base B_2.
se pongo
R=matrice rappresentativa di $f$ dalla base euclidea nella base $B_2$;
Q=cambiamento di coordinate dalla base B_2 alla base euclidea;
R dovrebbe essere triangolare e Q ortogonale e vale A=QR... anche se ora non ho tempo di controllare se è effettivamente vero, ad occhio direi di si...
se pongo
R=matrice rappresentativa di $f$ dalla base euclidea nella base $B_2$;
Q=cambiamento di coordinate dalla base B_2 alla base euclidea;
R dovrebbe essere triangolare e Q ortogonale e vale A=QR... anche se ora non ho tempo di controllare se è effettivamente vero, ad occhio direi di si...
Provo a fare un piccolo esempio su una matrice 2x2:
sia $A=[ula_1,ula_2]$, $Q=[ulq_1,ulq_2]$ e $R=[[r_(11),r_(12)],[r_(21),r_(22)]]$, procedo con l'ortogonaliz.:
$ulq_1=(ula_1)/(||ula_1||)=(ula_1)/(r_(11))$, cioè $ula_1=r_(11)ulq_1$
$ulq_2=(ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1)/(||ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1||)=(ula_2-r_(12)ulq_1)/(r_(22))$, cioé $ula_2=r_(12)ulq_1+r_(22)ulq_2$
riarrangiando in forma matriciale:
$[ula_1, ula_2]=[ulq_1, ulq_2][[r_(11), r_(12)],[0 , r_(22)]]$
sia $A=[ula_1,ula_2]$, $Q=[ulq_1,ulq_2]$ e $R=[[r_(11),r_(12)],[r_(21),r_(22)]]$, procedo con l'ortogonaliz.:
$ulq_1=(ula_1)/(||ula_1||)=(ula_1)/(r_(11))$, cioè $ula_1=r_(11)ulq_1$
$ulq_2=(ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1)/(||ula_2-(ula_2^Hulq_1)ulq_1||)=(ula_2-r_(12)ulq_1)/(r_(22))$, cioé $ula_2=r_(12)ulq_1+r_(22)ulq_2$
riarrangiando in forma matriciale:
$[ula_1, ula_2]=[ulq_1, ulq_2][[r_(11), r_(12)],[0 , r_(22)]]$
beh luca... le matrici che trovi sono esattamente quelle che dicevo nel post precedente...
sì, era giusto per mettere giù quello che non avevi voglia di fare 
ah... ok ... ... pensavo intendessi che quanto dicevo era sbagliato... misunderstanding ... cmq simpatica fattorizzazione!! grazie per avermela presentata! 
... ... pensavo intendessi che quanto dicevo era sbagliato... misunderstanding ... cmq simpatica fattorizzazione!! grazie per avermela presentata!
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