Sistema lineare (semplice)

[Leopold2]

Salve a tutti,

Devo rispondere a una domanda che mi sta un po’ confondendo:
“Un sistema lineare $Ax=0$ con A matrice (5x4) e $rg(A)=4$ :
- ha solo una soluzione nulla
- non ha mai soluzione
- può non avere soluzioni
- ha $∞^2$ soluzioni “

Allora, so che $rg(A)=4$ e che anche $n=4$ , ora mi devo quindi concentrare sul rango dell matrice (A|b).
Il mio problema é che non so cosa comporta aggiungere ad A la matrice nulla b, per certo ottengo una matrice 5x5 e di conseguenza il sistema potrebbe non aver soluzioni mentre se l’aggiunta di b non cambia nulla mi troverei ad avere una sola soluzione.
Qualcuno mi può illuminare?

Grazie

[axpgn]

Applicando le mosse di Gauss ad una colonna interamente nulla, rimarrà interamente nulla, ne convieni? Quindi ...

[Leopold2]

Quindi il rg(A|b) sarà uguale al rg(A) che come già detto è uguale a n e di conseguenza il sistema lineare avrà una sola soluzione.
Grazie per l’illuminazione!

[axpgn]

Una delle poche cose che so è che un sistema omogeneo (termini noti tutti nulli) ha sempre soluzione (unica o infinite)

[Leopold2]

Nel mio caso però non ha infinite soluzioni

[axpgn]

Sì, certo, volevo solo aggiungere questo (che è un teorema fondamentale) per dirti che non è un caso specifico ma una situazione generale ... un sistema non ha soluzione se riducendolo a scalini la colonna dei termini noti è una colonna pivot ma dato che le mosse di Gauss lasciano interamente nulla una colonna originariamente interamente nulla, ecco che una colonna di termini noti tutti nulli non sarà mai una colonna pivot ...

Cordialmente, Alex