Sistema lineare parametrico
Carissimi,
sono impegnato nella risoluzione di un sistema lineare parametrico. Malgrado abbia dato uno sguardo al nuovo thread in sticky, riguardante proprio questo argomento, c'è da dire che, probabilmente per dabbenaggine del sottoscritto, non ho trovato quanto cercavo.
Il sistema in questione è il seguente:
x + 2y + kz = 1
kx + 2y + z = 1
x - 2y - z = 2-k
Bene, dopo aver ricercato i valori di k per cui il sistema risulti o meno compatibile, dovrei procedere alla risoluzione con l'algoritmo di Gauss. Ma come devo comportarmi quando, nel corso della riduzione a gradini, mi tocca annullare un termine contenente k, come in questo caso?
Grazie a coloro i quali vorranno rispondermi, a tutti, comunque, auguri di buona serata.
diego
sono impegnato nella risoluzione di un sistema lineare parametrico. Malgrado abbia dato uno sguardo al nuovo thread in sticky, riguardante proprio questo argomento, c'è da dire che, probabilmente per dabbenaggine del sottoscritto, non ho trovato quanto cercavo.
Il sistema in questione è il seguente:
x + 2y + kz = 1
kx + 2y + z = 1
x - 2y - z = 2-k
Bene, dopo aver ricercato i valori di k per cui il sistema risulti o meno compatibile, dovrei procedere alla risoluzione con l'algoritmo di Gauss. Ma come devo comportarmi quando, nel corso della riduzione a gradini, mi tocca annullare un termine contenente k, come in questo caso?
Grazie a coloro i quali vorranno rispondermi, a tutti, comunque, auguri di buona serata.
diego
Risposte
Semplicemente devi moltiplicare un'intera riga per $k$, come se fosse una costante.
Ad esempio come primo passaggio esegui l' operazione: 2a riga - $k$*(3a riga)
Ad esempio come primo passaggio esegui l' operazione: 2a riga - $k$*(3a riga)
Oh, grazie infinite!
Ma, operando in questo modo, non ha importanza il fatto che "perda", in qualche modo, il parametro?
Ma, operando in questo modo, non ha importanza il fatto che "perda", in qualche modo, il parametro?
No, perchè attraverso le operazioni elementari su equazioni, o sulle righe della matrice associata, ottieni sempre un sistema equivalente
Grazie (:
Non capisco perché questo argomento suscita così tante perplessità.
$ ( ( 1 , 2 , k ),( k , 2 , 1 ),( 1 , -2 , -1 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 ),( 2-k ) ) $
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2-2k , 1-k^2 ),( 0 , -4 , -1-k ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 1-k ) ) $
Per comodità scomponiamo in fattori di grado 1.
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2(1-k) , (1-k)(1+k) ),( 0 , -4 , -(1+k) ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 1-k ) ) $
Qui di deve supporre che $(1-k) ne 0$ cioè $k ne 1$ ricavando:
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2(1-k) , (1-k)(1+k) ),( 0 , 0, (1+k) ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 3-k) ) $
Per $k=1$ avresti la matrice
$ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4, -2 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 0 ),( 2) ) $
Che è indefinita (ha rango 2).
Quindi togliendo l'equazione centrale e usando $z$ come parametro ricavo:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , -4) )(( x ),( y )) = ( ( 1 - z),( 2(1 + z)) ) $
Le cui soluzioni, se non ho sbagliato i calcoli, sono:
$ { ( x &= &2),( y &=& -1/2(1+t) ),( z &=& t ):} $
Ora mancano solo le soluzioni nel caso $k ne 1$ date risolvendo il sistema triangolare parametrico che compare sopra. Tieni conto comunque che all'inizio devi imporre $(1+k) ne 0$ per poter fare la divisione e quindi finisci nuovamente ad una matrice di rango 2 di cui devi trovare le soluzioni. Non dovrai invece imporre $(1-k) ne 0$ perché lo hai già fatto.
$ ( ( 1 , 2 , k ),( k , 2 , 1 ),( 1 , -2 , -1 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 ),( 2-k ) ) $
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2-2k , 1-k^2 ),( 0 , -4 , -1-k ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 1-k ) ) $
Per comodità scomponiamo in fattori di grado 1.
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2(1-k) , (1-k)(1+k) ),( 0 , -4 , -(1+k) ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 1-k ) ) $
Qui di deve supporre che $(1-k) ne 0$ cioè $k ne 1$ ricavando:
$ ( ( 1 , 2 , k ),( 0 , 2(1-k) , (1-k)(1+k) ),( 0 , 0, (1+k) ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 1 - k),( 3-k) ) $
Per $k=1$ avresti la matrice
$ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -4, -2 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 1 ),( 0 ),( 2) ) $
Che è indefinita (ha rango 2).
Quindi togliendo l'equazione centrale e usando $z$ come parametro ricavo:
$ ( ( 1 , 2 ),( 0 , -4) )(( x ),( y )) = ( ( 1 - z),( 2(1 + z)) ) $
Le cui soluzioni, se non ho sbagliato i calcoli, sono:
$ { ( x &= &2),( y &=& -1/2(1+t) ),( z &=& t ):} $
Ora mancano solo le soluzioni nel caso $k ne 1$ date risolvendo il sistema triangolare parametrico che compare sopra. Tieni conto comunque che all'inizio devi imporre $(1+k) ne 0$ per poter fare la divisione e quindi finisci nuovamente ad una matrice di rango 2 di cui devi trovare le soluzioni. Non dovrai invece imporre $(1-k) ne 0$ perché lo hai già fatto.
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