Sistema lineare parametrico
Buon pomeriggio a tutti!
Mi chiedevo, secondo voi è giusto risolvere il seguente quesito in questo modo?
Determinare per quali valori di $ k in R $ il seguente sistema lineare omogeneo ammette soluzioni diverse da quella nulla e, per i vaolri di k trovati, risolvere il sistema.
$ { ( (1-k)x + 2y = 0 ),( x - ky = 0 ):} $
Dunque, siccome è un sistema omogeneo, come suggerisce anche il testo, sicuramente ammette soluzione nulla. Inoltre, essendo un sistema di due equazioni in due incognite, se la matrice $ A = ( ( (1-k) , 2 ),( 1 , -k ) ) $ è tale che $ detA != 0 $ allora il sistema si dice di Cramer ed ammette una ed una sola soluzione.
risolvendo la disuguaglianza $ detA != 0 $ ottengo che $ k != 1 $ e $ k != 2 $
dunque, possiamo risolvere il sistema di Cramer per tutti gli altri k con il metodo omonimo e risulta:
$ x = 1/(detA) * | ( 0 , 2 ),( 0 , -k ) | = 0 $
$ y = 1/(detA) * | ( 1-k , 0 ),( 1 , 0 ) | = 0 $
Posso dunque dedurre che non esistono vaolri di k per cui il sistema ammetta una soluzione diversa dal vettore $ (0,0) $ ?
Grazie in anticipo,
Marta
Mi chiedevo, secondo voi è giusto risolvere il seguente quesito in questo modo?
Determinare per quali valori di $ k in R $ il seguente sistema lineare omogeneo ammette soluzioni diverse da quella nulla e, per i vaolri di k trovati, risolvere il sistema.
$ { ( (1-k)x + 2y = 0 ),( x - ky = 0 ):} $
Dunque, siccome è un sistema omogeneo, come suggerisce anche il testo, sicuramente ammette soluzione nulla. Inoltre, essendo un sistema di due equazioni in due incognite, se la matrice $ A = ( ( (1-k) , 2 ),( 1 , -k ) ) $ è tale che $ detA != 0 $ allora il sistema si dice di Cramer ed ammette una ed una sola soluzione.
risolvendo la disuguaglianza $ detA != 0 $ ottengo che $ k != 1 $ e $ k != 2 $
dunque, possiamo risolvere il sistema di Cramer per tutti gli altri k con il metodo omonimo e risulta:
$ x = 1/(detA) * | ( 0 , 2 ),( 0 , -k ) | = 0 $
$ y = 1/(detA) * | ( 1-k , 0 ),( 1 , 0 ) | = 0 $
Posso dunque dedurre che non esistono vaolri di k per cui il sistema ammetta una soluzione diversa dal vettore $ (0,0) $ ?
Grazie in anticipo,
Marta
Risposte
$det A ne 0 $ se $ k ne-1, ne 2 $.In questi casi hai una e una sola soluzione , dunque quella nulla $x=y=0 $ ok ?
Quando invece $k=-1 $ oppure $ k=2 $ non puoi più usare Cramer.
Ad esempio se $k=2 $ il sistema diventa :
$-x+2y=0 $
$x-2y=0$
da cui $x=2y $ e quindi proprio in questi casi di soluzioni ne avrai $oo^1$( tra cui sempre quella nulla ) date da....
Ricorda il Teorema di Rouchè Capelli che dice che si hanno soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa.
Inoltre il numero di soluzioni è $oo^(n-r)$ dove $ n $ è il numero di incognite e $ r $ il rango della matrice dei coeff.= rango matrice completa.
Quando invece $k=-1 $ oppure $ k=2 $ non puoi più usare Cramer.
Ad esempio se $k=2 $ il sistema diventa :
$-x+2y=0 $
$x-2y=0$
da cui $x=2y $ e quindi proprio in questi casi di soluzioni ne avrai $oo^1$( tra cui sempre quella nulla ) date da....
Ricorda il Teorema di Rouchè Capelli che dice che si hanno soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa.
Inoltre il numero di soluzioni è $oo^(n-r)$ dove $ n $ è il numero di incognite e $ r $ il rango della matrice dei coeff.= rango matrice completa.
Grazie Camillo!! Dunque le $ oo ^1 $ soluzioni sono del tipo:
$ (0, 2h) $ se $ k = 2 $ e
$ (h, -h) $ se $ k = -1 $!
Grazie mille ancora!
$ (0, 2h) $ se $ k = 2 $ e
$ (h, -h) $ se $ k = -1 $!
Grazie mille ancora!
Se $ k=2 $ ottieni $ x=2y $ e quindi le soluzioni sono il vettore$ (2h,h) $ con $h in RR $.
se $k=-1 $ le soluzioni sono $x=-y $ e quindi il vettore soluzioni è $(-h,h)$ oppure come hai indicato tu $( h,-h ) $ è esattamente lo stesso, sempre con $h in RR $.
se $k=-1 $ le soluzioni sono $x=-y $ e quindi il vettore soluzioni è $(-h,h)$ oppure come hai indicato tu $( h,-h ) $ è esattamente lo stesso, sempre con $h in RR $.
;__; grazie..
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