Sistema lineare nn omogeneo
Dato un sistema lineare nn omogeneo di m equazioni in n incognite compatibile, quando si può essere certi che il sistema
ammette due diverse soluzioni?
ammette due diverse soluzioni?
Risposte
Per un sistema lineare di m equazioni n incongnite, comunque siano m ed n, si presentano tre soli casi possibili...
a) il sistema non ammette soluzioni
b) il sistema amette una e una sola soluzione
c) il sistema ammette infinite soluzioni
Non esiste il caso in cui il sistema ammette due soluzioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) il sistema non ammette soluzioni
b) il sistema amette una e una sola soluzione
c) il sistema ammette infinite soluzioni
Non esiste il caso in cui il sistema ammette due soluzioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Teoremi di Cramer e di Rouchè-Capelli... mai sentiti?
"Luca.Lussardi":
Teoremi di Cramer e di Rouchè-Capelli... mai sentiti?
................. vabbè....
Cmq grazie della risposta lupo grigio
.
In un sistema lineare le soluzioni possono essere:
* una
*nessuna
*infinite
Non ci sono altre possibilità.
Se per compatibile intendi che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a quello della matrice completa ( coefficienti + colonna termini noti) allora il teorema di Rouchè -Capelli assicura che ci sono soluzioni .
Se r è il rango sopra detto, allora il numero di soluzioni sarà $ oo^(n-r) $ .
Ma due soluzioni mai....
* una
*nessuna
*infinite
Non ci sono altre possibilità.
Se per compatibile intendi che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a quello della matrice completa ( coefficienti + colonna termini noti) allora il teorema di Rouchè -Capelli assicura che ci sono soluzioni .
Se r è il rango sopra detto, allora il numero di soluzioni sarà $ oo^(n-r) $ .
Ma due soluzioni mai....
Arrivo tardi
Grazie comunque
Un caso tanto interessante quanto solitamente trascurato nei trattati di algebra lineare si verifica allorchè $m>n$, ovvero le equazioni sono in numero superiore alle incognite. In tale eventualità, se le m righe della matrice del sistema sono linearmente indipendenti, il sistema si dice 'sovradeterminato' e non ammette soluzioni. Dal punto di vista pratico tuttavia spesso ci si imbatte in tali casi e quello che si può fare cercare un vettore di $n$ elementi che 'meglio apporossima' la soluzione inesistente. Vi sono due classi di algoritmi risolventi e precisamente...
a) ricerca della soluzione a 'minimo errore quadratico'
b) ricerca della soluzione a 'minimo massimo errore'
Lo scrivente ha applicato entrambi questi metodi tutte le volte che ne ha avuto l'opportunità ottenendo nella maggior parte dei casi eccellenti risultati...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) ricerca della soluzione a 'minimo errore quadratico'
b) ricerca della soluzione a 'minimo massimo errore'
Lo scrivente ha applicato entrambi questi metodi tutte le volte che ne ha avuto l'opportunità ottenendo nella maggior parte dei casi eccellenti risultati...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Un caso tanto interessante quanto solitamente trascurato nei trattati di algebra lineare si verifica allorchè $m>n$, ovvero le equazioni sono in numero superiore alle incognite. In tale eventualità, se le m righe della matrice del sistema sono linearmente indipendenti, il sistema si dice 'sovradeterminato' e non ammette soluzioni. Dal punto di vista pratico tuttavia spesso ci si imbatte in tali casi e quello che si può fare cercare un vettore di $n$ elementi che 'meglio apporossima' la soluzione inesistente. Vi sono due classi di algoritmi risolventi e precisamente...
a) ricerca della soluzione a 'minimo errore quadratico'
b) ricerca della soluzione a 'minimo massimo errore'
Lo scrivente ha applicato entrambi questi metodi tutte le volte che ne ha avuto l'opportunità ottenendo nella maggior parte dei casi eccellenti risultati...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Molto interessante, in pratica sarebbe quando abbiamo un sistema con delle equazioni discordi...
Sia $Ax=b $ l’equazione vettoriale di un sistema lineare con $ m > n $ e tutte le equazioni linearmente indipendenti.
Il sistema è sovradimensionato e non ha soluzione, è cioè impossibile.
Vogliamo però trovare una soluzione che si adatti al meglio , cioè una soluzione $x $ che minimizzi in $RR^m $ l’errore $ epsilon = b-Ax$.
In un sistema di questo tipo è chiaro che il termine noto $b$ non appartiene allo spazio generato dalle colonne di $A$ .
Bisogna allora cercare un altro termine noto $ b’$ che appartenga allo spazio generato dalle colonne di $A$; chiamiamo questo spazio $C_A $ , e vogliamo che $b'$ sia ottimale cioè differisca il meno possibile dal vettore $b $ iniziale.
Si dimostra che la soluzione ai minimi quadrati (quella cioè che rende minimo l’errore calcolato come radice quadrata della somma dei quadrati degli scostamenti)del sistema $Ax = b $ è data dal vettore $u $ se l’errore commesso, cioè $ epsilon_u = b-Au $ è ortogonale a $C_A$, cioè se $ Au$ è la proiezione ortogonale di $b$ su $C_A $.
Si considera quindi la la proiezione ortogonale $b’$ di $b$ su $C_A $ e poi si risolve il sistema $Ax =b’$.
E questo lo si può fare in un colpo solo in quanto :
Le soluzioni ai minimi quadrati di $ Ax=b $ sono le soluzioni esatte del sistema lineare :
$A^T*A*x = A^T*b $ di n equazioni in n incognite essendo $ A^T $ la trasposta di $A$ e quindi di dimensioni $(n,m)$. Sarà ovviamente $A^T(n,m)*A(m,n ) $ una matrice $(n,n)$.
Esempio semplice .
Determinare nello spazio tridimensionale l’equazione del piano passante per l’origine e che minimizza l’errore di passaggio per i punti $A(1,1,3)$ , $B(2,-1,0)$ e $C(3,2,6) $ che non stanno sullo stesso piano passante per l’origine.
L’equazione del piano passante per l’origine è $ x+ay+cz = 0 $.
Il passaggio per A , B e C richiede la soluzione del sistema :
$1+a+3c =0$
$2-a = 0$
$3+2*a+6c = 0$
che riscrivo così :
$a+3c = -1$
$a = 2$
$2a+6c =-3$
formato da 3 equazioni in due incognite, le 3 equazioni essendo indipendenti e quindi il sistema non ha soluzione.
In questo caso è $ A = ((1,3),(1,0),(2,6))$ , $b= ((-1),(2),(-3)) $ .
Quindi:
$A^T = ((1,1,2),(3,0,6))$ ; $A^T*A =((6,15),(15,39))$ ; $A^T*b =((-5),(-15)) $.
Si tratta ora di risolvere il sistema :
$((6,15),(15,39))*((a),(c)) =((-5),(-15))$.
E si ottiene $a = 10/3 ; c= -5/3 $ .
L’equazione del piano è quindi :$3x+10y-5z=0$.
Il sistema è sovradimensionato e non ha soluzione, è cioè impossibile.
Vogliamo però trovare una soluzione che si adatti al meglio , cioè una soluzione $x $ che minimizzi in $RR^m $ l’errore $ epsilon = b-Ax$.
In un sistema di questo tipo è chiaro che il termine noto $b$ non appartiene allo spazio generato dalle colonne di $A$ .
Bisogna allora cercare un altro termine noto $ b’$ che appartenga allo spazio generato dalle colonne di $A$; chiamiamo questo spazio $C_A $ , e vogliamo che $b'$ sia ottimale cioè differisca il meno possibile dal vettore $b $ iniziale.
Si dimostra che la soluzione ai minimi quadrati (quella cioè che rende minimo l’errore calcolato come radice quadrata della somma dei quadrati degli scostamenti)del sistema $Ax = b $ è data dal vettore $u $ se l’errore commesso, cioè $ epsilon_u = b-Au $ è ortogonale a $C_A$, cioè se $ Au$ è la proiezione ortogonale di $b$ su $C_A $.
Si considera quindi la la proiezione ortogonale $b’$ di $b$ su $C_A $ e poi si risolve il sistema $Ax =b’$.
E questo lo si può fare in un colpo solo in quanto :
Le soluzioni ai minimi quadrati di $ Ax=b $ sono le soluzioni esatte del sistema lineare :
$A^T*A*x = A^T*b $ di n equazioni in n incognite essendo $ A^T $ la trasposta di $A$ e quindi di dimensioni $(n,m)$. Sarà ovviamente $A^T(n,m)*A(m,n ) $ una matrice $(n,n)$.
Esempio semplice .
Determinare nello spazio tridimensionale l’equazione del piano passante per l’origine e che minimizza l’errore di passaggio per i punti $A(1,1,3)$ , $B(2,-1,0)$ e $C(3,2,6) $ che non stanno sullo stesso piano passante per l’origine.
L’equazione del piano passante per l’origine è $ x+ay+cz = 0 $.
Il passaggio per A , B e C richiede la soluzione del sistema :
$1+a+3c =0$
$2-a = 0$
$3+2*a+6c = 0$
che riscrivo così :
$a+3c = -1$
$a = 2$
$2a+6c =-3$
formato da 3 equazioni in due incognite, le 3 equazioni essendo indipendenti e quindi il sistema non ha soluzione.
In questo caso è $ A = ((1,3),(1,0),(2,6))$ , $b= ((-1),(2),(-3)) $ .
Quindi:
$A^T = ((1,1,2),(3,0,6))$ ; $A^T*A =((6,15),(15,39))$ ; $A^T*b =((-5),(-15)) $.
Si tratta ora di risolvere il sistema :
$((6,15),(15,39))*((a),(c)) =((-5),(-15))$.
E si ottiene $a = 10/3 ; c= -5/3 $ .
L’equazione del piano è quindi :$3x+10y-5z=0$.
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