Sistema lineare di equazioni con parametro K
Dunque, sto avendo delle rogne con i sistemi lineari con variabile K: vorrei postare a grandi linee il procedimento per svolgere la soluzione dell esercizio postato.
Per limitazione della simpatica professoressa non si puo' risolvere il sistema con i metodi studiati al liceo, ma solo con il metodo di Kramer e/o di Rouchè-Capelli.
( x-2y = -5
( kx-4y = -10
( 3x-6y = -15
( x+y = 2
La prima considerazione che ho fatto è che essendo un sistema di quattro equazioni in 2 incognite, la K è ridondante. Non ne ho bisogno per risolvere il sistema visto che per trovare 2 incognite mi basterebbero 2 equazioni.
a Questo punto, poichè il numero di equazioni è diverso dal nume di incognite, so che non posso usare Kramer.
Passo allo studio del rango della matrice.
1 ) Può essere al massimo di rango 2. Scelgo la minore senza la K (le ultime due equazioni) ed ottengo determinante 9, che adotto come determinante fondamentale.
2) imposto l'orlato sulla minore che ho scelto. A questo punto non so se sia necessario scegliere l'orlato con la K o senza ( visto che per completarlo potrei scegliere una qualsiasi fra le due equazioni rimanenti ).
Se scelgo l'orlato senza K ottengo determinante = -120, che non ammetterebbe soluzioni.
Se scelgo l'orlato con la K ottengo ottengo le due condizioni di esistena delle soluzioni per K=2. dato che per amettere soluzioni l'orlato deve essere uguale a zero, considero solo tali soluzioni.
a Quel punto, visto che il valore di K è un numero finito, posso sostituirlo nel calcolo delle incognite, come si fa normalemente con Rouchè-capelli.
Mi confermate questo procedimento, per favore?
i miei dubbi sono: Quando faccio lo studio del determinante al primo passaggio posso scegliere di calcolarlo in una minore SENZA la K o sono costretto a considerarlo nonostante abbia più equazioni fra le quali scegliere?
Quando devo formulare l'orlato sulla base della matrice minore che ho scelto, (nel caso ci siano più di una equazione rimanente), devo fare lo studio di entrambi gli orlati formulabili o basta che uno qualunque dia risultato uguale a zero?
Va bene formulare l'orlato senza la K, se da risultato uguale a zero?
Se l'orlato con la K da un risultato accettabile, è legittimo sostituire quel valore nel calcolo delle incognite, o bisogna ottenere per forza un risultato in funzione di K?
lo so che sono stato prolisso ma sto esercizio era un po' particolare.
Siccome è più che probabile che esca all'esame consiglierei a tutti di cercare di trovare una soluzione, senno' sto esame non lo passiamo.
Per limitazione della simpatica professoressa non si puo' risolvere il sistema con i metodi studiati al liceo, ma solo con il metodo di Kramer e/o di Rouchè-Capelli.
( x-2y = -5
( kx-4y = -10
( 3x-6y = -15
( x+y = 2
La prima considerazione che ho fatto è che essendo un sistema di quattro equazioni in 2 incognite, la K è ridondante. Non ne ho bisogno per risolvere il sistema visto che per trovare 2 incognite mi basterebbero 2 equazioni.
a Questo punto, poichè il numero di equazioni è diverso dal nume di incognite, so che non posso usare Kramer.
Passo allo studio del rango della matrice.
1 ) Può essere al massimo di rango 2. Scelgo la minore senza la K (le ultime due equazioni) ed ottengo determinante 9, che adotto come determinante fondamentale.
2) imposto l'orlato sulla minore che ho scelto. A questo punto non so se sia necessario scegliere l'orlato con la K o senza ( visto che per completarlo potrei scegliere una qualsiasi fra le due equazioni rimanenti ).
Se scelgo l'orlato senza K ottengo determinante = -120, che non ammetterebbe soluzioni.
Se scelgo l'orlato con la K ottengo ottengo le due condizioni di esistena delle soluzioni per K=2. dato che per amettere soluzioni l'orlato deve essere uguale a zero, considero solo tali soluzioni.
a Quel punto, visto che il valore di K è un numero finito, posso sostituirlo nel calcolo delle incognite, come si fa normalemente con Rouchè-capelli.
Mi confermate questo procedimento, per favore?
i miei dubbi sono: Quando faccio lo studio del determinante al primo passaggio posso scegliere di calcolarlo in una minore SENZA la K o sono costretto a considerarlo nonostante abbia più equazioni fra le quali scegliere?
Quando devo formulare l'orlato sulla base della matrice minore che ho scelto, (nel caso ci siano più di una equazione rimanente), devo fare lo studio di entrambi gli orlati formulabili o basta che uno qualunque dia risultato uguale a zero?
Va bene formulare l'orlato senza la K, se da risultato uguale a zero?
Se l'orlato con la K da un risultato accettabile, è legittimo sostituire quel valore nel calcolo delle incognite, o bisogna ottenere per forza un risultato in funzione di K?
lo so che sono stato prolisso ma sto esercizio era un po' particolare.
Siccome è più che probabile che esca all'esame consiglierei a tutti di cercare di trovare una soluzione, senno' sto esame non lo passiamo.
Risposte
Non riesco a capire come venga -120 l'orlato senza la k.
Semplicemente, devi scegliere quel valore di k per cui il determinante di tutte le tre matrici A|b che contengono l'equazione con il parametro sia 0.
Semplicemente, devi scegliere quel valore di k per cui il determinante di tutte le tre matrici A|b che contengono l'equazione con il parametro sia 0.
Fermo restando che nel calcolo dell'orlato senza la K potrei aver fatto qualche pasticcio di calcolo ( dannata testa ), vediamo se ho capito:
Mi stai dicendo che devo calcolarmi tutti e 3 gli orlati delle matrici 2x2 contenenti K ed ottenere un solo valore comune a tutti gli orlati per il quale il determinante sia uguale a zero?
Oppure mi basta trovare tre valori diversi del determinante e studiarmieli tutti? ( mi sembra strano, pero' )
Grazie per il tuo aiuto! sei stato gentilissimo ( e rapidissimo )
Mi stai dicendo che devo calcolarmi tutti e 3 gli orlati delle matrici 2x2 contenenti K ed ottenere un solo valore comune a tutti gli orlati per il quale il determinante sia uguale a zero?
Oppure mi basta trovare tre valori diversi del determinante e studiarmieli tutti? ( mi sembra strano, pero' )
Grazie per il tuo aiuto! sei stato gentilissimo ( e rapidissimo )
La matrice A ( quella dei coefficienti ) ha rango : 2 .
La matrice [A|b ] completa ha rango :
3 se k $ne$ 2 , e quindi per Rouchè Capelli il sistema non ha nessuna soluzione .
2 se $k=2 $ e quindi il sistema ha una sola soluzione : $x = -1/3 ; y = 7/3$.
S.E.O ( Ho fatto di fretta
).
La matrice [A|b ] completa ha rango :
3 se k $ne$ 2 , e quindi per Rouchè Capelli il sistema non ha nessuna soluzione .
2 se $k=2 $ e quindi il sistema ha una sola soluzione : $x = -1/3 ; y = 7/3$.
S.E.O ( Ho fatto di fretta
).
mmmhhhh, credo di capire..... mo provo a risolverlo e vi dico se è venuto.
Grazie per l'aiuto! ^^
Grazie per l'aiuto! ^^
scusate, sto esercizio mi sembra fuori della grazia di Dio.
Mi spiegate esattamente che me ne faccio della K?
In un sistema di 4 equazioni in due incognite la K la potrei trascurare completamente, no?
Quando stabilisci che il sistema è di rango 2, e costruisci l'orlato per trovarti le soluzioni, non potresti scegliere di costruirti l'lorlato con la quarta equazione rimanente? quella senza K, per intenderci.
O è necessario studiare TUTTI gli orlati e pregare che diano risultati equivalenti?
In caso non diano lo stesso risultato il sistema non ammette soluzioni?
Mi sembra strano dover calcolare tutti gli orlati possibili in funzione della 2x2 che ho usato per il calcolo del determinante......
scusate l'ignoranza ma questo caso non l'ho trovato scritto da nessuna parte....
Mi spiegate esattamente che me ne faccio della K?
In un sistema di 4 equazioni in due incognite la K la potrei trascurare completamente, no?
Quando stabilisci che il sistema è di rango 2, e costruisci l'orlato per trovarti le soluzioni, non potresti scegliere di costruirti l'lorlato con la quarta equazione rimanente? quella senza K, per intenderci.
O è necessario studiare TUTTI gli orlati e pregare che diano risultati equivalenti?
In caso non diano lo stesso risultato il sistema non ammette soluzioni?
Mi sembra strano dover calcolare tutti gli orlati possibili in funzione della 2x2 che ho usato per il calcolo del determinante......
scusate l'ignoranza ma questo caso non l'ho trovato scritto da nessuna parte....
O è necessario studiare TUTTI gli orlati e pregare che diano risultati equivalenti?
Esatto. Lascia perdere le preghiere, il problema è che il rango della matrice è indipendente dalla volontà dell'utente di osservare una riga piuttosto che un'altra.
Un'altra definizione di rango è: Il numero di vettori linearmente indipendenti che costituiscono la matrice.
Come dice giustamente camillo, La matrice [A|b ] completa ha rango 3 se k $ne 2$, mentre ha rango 2 se $k=2$.
Le righe $x-2y=-5$ e $3x-6y=-15$ sono linearmente dipendenti, poichè sono l'una il triplo dell'altra.
Vediamo a occhio che se $k=2$ allora la seconda riga diventa il doppio della prima, quindi anche essa linearmente dipendente.
per trovare 2 incognite mi basterebbero 2 equazioni
Questo non è sempre vero. Queste due equazioni non devono essere equivalenti. Per questo il teorema di Rouché-Capelli specifica che, se il rango della matrice completa è superiore rispetto a quello della matrice dei coefficienti, il problema non ha soluzioni.
non potresti scegliere di costruirti l'lorlato con la quarta equazione rimanente?
Purtroppo, non puoi scegliere; il rango è una funzione della matrice, quindi dipende intrinsecamente da questa, non dal modo in cui lo calcoli. Se ci pensi, è piuttosto ovvio...
"Purtroppo, non puoi scegliere; il rango è una funzione della matrice, quindi dipende intrinsecamente da questa, non dal modo in cui lo calcoli. Se ci pensi, è piuttosto ovvio..."
Scusa se insisto ma ,proprio perchè il rango dipende dalla matrice di una funzione dovrebbe dare gli stessi risultati indipendentemente da quali righe scelgo, quindi dovrei prendere per buono che, se sclego una riga con la K o senza, dovrei ottenere quantomeno gli stessi risultati per K uguale ad un certo valore, cosa che in effetti non è.
Quindi io quale devo scegliere per completare l'orlato formulato su una minore del sistema?
sia quella senza K che quella con K?
Ma proprio perchè c'è la K non potrà dare gli stessi risultati dell'orlati senza la K, vuol dire che a priori il sistema non ammette soluzioni?
Per inciso, faccio una gran fatica a capire i ragionamenti formulati da un vero matematico, me lo potreste spiegare " a prova di imbecille", per pietà? ^^'
Scusa se insisto ma ,proprio perchè il rango dipende dalla matrice di una funzione dovrebbe dare gli stessi risultati indipendentemente da quali righe scelgo, quindi dovrei prendere per buono che, se sclego una riga con la K o senza, dovrei ottenere quantomeno gli stessi risultati per K uguale ad un certo valore, cosa che in effetti non è.
Quindi io quale devo scegliere per completare l'orlato formulato su una minore del sistema?
sia quella senza K che quella con K?
Ma proprio perchè c'è la K non potrà dare gli stessi risultati dell'orlati senza la K, vuol dire che a priori il sistema non ammette soluzioni?
Per inciso, faccio una gran fatica a capire i ragionamenti formulati da un vero matematico, me lo potreste spiegare " a prova di imbecille", per pietà? ^^'
Ok, credo di essere alla svolta ma ho trovato due sistemi per risolvere il sistema ( dei quali uno è quello che ha postato Camillo, che ringrazio particolarmente ).
1) Il sistema di camillo consiste nel mettere a confronto il rango della matrice completa con quello della matrice incompleta.
Se essi sono diversi il sistema è incompatibile, se sono uguali ( nel nostro caso è necessario che K abbia valore 2 ), il sistema ammette soluzioni.
Visto che abbiamo 2 incognite possiamo risolvere il problema con sole 2 equazioni, che possiamo comodamente scegliere senza la K.
Ne calcoliamo il determinante della matrice su di esse costruita ed infine, applicando Cramer, ottengo i miei risultati di X e Y.
( questo sistema è comodo e veloce e da risultati definiti senza la K a rompere le scatole.
2) il secondom metodo l'ha mostrato la prof a lezione ma non so quanto sia attendibile.
---- =/ sta per diverso e oo sta per infinito ----
Si fa il DetA prendendo in considerazione due equazioni tra cui una con il k, per esempio la prima e la seconda equazione.
La matrice viene così |1 -2|
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |k -4|= 2(k-2)
A questo punto bisogna trovare il valore di k nel quale si risolve l'equazione 2(k-2)=0 che è k=2
quindi, dobbiamo dire che il DetA è =0 per k=2
e DetA è=/0 per k=/2.
Prendiamo il caso in cui k=/2 e applichiamo Cramer trovando x e y
x=(matrice in x)/2(k-2) y=(matrice in y)/2(k-2)
[matrice in x o in y significa la matrice presa in partenza sostituendo rispettivamente ai valori di x e y i termini noti delle equazioni]
Poi prendiamo in considerazione il caso in cui k=2 e quindi DetA=0:
essendo un sistema di rango 2, l'orlato va fatto di rango 1, quindi si prende la prima equazione e si fa l'orlato con le altre tre( tenendo conto che k=2):
|1 -5| _ _ __|1 -5|_ _ _|1-5|
|2-10|=0_ _|3-15|=0_ |1 2|=3
Se fossero stati tutti e tre=0 allora avremmo avuto soluzioni. metre così (per k=2) il sistema non ammette soluzioni.
Posto per assurdo che gli orlati fossero stati tutti e tre =0,
avremmo preso le soluzioni delle equazioni prese ad esempio, e dato che abbiamo detto che è di rango 1 avremmo preso in considerazione solo le soluzioni di x=-5+2y oo1
Quell'ultimo valore infinito non ho idea di come sia stato tirato fuori.
Visto che la matematica non è un'opinione immagino, dato che i due metodi danno risultati differenti, che uno dei due sia sbagliato, preferirei che fosse il secondo, data la sua macchinosità.
Chi sa dirmi quale dei due sia quello corretto?
1) Il sistema di camillo consiste nel mettere a confronto il rango della matrice completa con quello della matrice incompleta.
Se essi sono diversi il sistema è incompatibile, se sono uguali ( nel nostro caso è necessario che K abbia valore 2 ), il sistema ammette soluzioni.
Visto che abbiamo 2 incognite possiamo risolvere il problema con sole 2 equazioni, che possiamo comodamente scegliere senza la K.
Ne calcoliamo il determinante della matrice su di esse costruita ed infine, applicando Cramer, ottengo i miei risultati di X e Y.
( questo sistema è comodo e veloce e da risultati definiti senza la K a rompere le scatole.
2) il secondom metodo l'ha mostrato la prof a lezione ma non so quanto sia attendibile.
---- =/ sta per diverso e oo sta per infinito ----
Si fa il DetA prendendo in considerazione due equazioni tra cui una con il k, per esempio la prima e la seconda equazione.
La matrice viene così |1 -2|
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |k -4|= 2(k-2)
A questo punto bisogna trovare il valore di k nel quale si risolve l'equazione 2(k-2)=0 che è k=2
quindi, dobbiamo dire che il DetA è =0 per k=2
e DetA è=/0 per k=/2.
Prendiamo il caso in cui k=/2 e applichiamo Cramer trovando x e y
x=(matrice in x)/2(k-2) y=(matrice in y)/2(k-2)
[matrice in x o in y significa la matrice presa in partenza sostituendo rispettivamente ai valori di x e y i termini noti delle equazioni]
Poi prendiamo in considerazione il caso in cui k=2 e quindi DetA=0:
essendo un sistema di rango 2, l'orlato va fatto di rango 1, quindi si prende la prima equazione e si fa l'orlato con le altre tre( tenendo conto che k=2):
|1 -5| _ _ __|1 -5|_ _ _|1-5|
|2-10|=0_ _|3-15|=0_ |1 2|=3
Se fossero stati tutti e tre=0 allora avremmo avuto soluzioni. metre così (per k=2) il sistema non ammette soluzioni.
Posto per assurdo che gli orlati fossero stati tutti e tre =0,
avremmo preso le soluzioni delle equazioni prese ad esempio, e dato che abbiamo detto che è di rango 1 avremmo preso in considerazione solo le soluzioni di x=-5+2y oo1
Quell'ultimo valore infinito non ho idea di come sia stato tirato fuori.
Visto che la matematica non è un'opinione immagino, dato che i due metodi danno risultati differenti, che uno dei due sia sbagliato, preferirei che fosse il secondo, data la sua macchinosità.
Chi sa dirmi quale dei due sia quello corretto?
Non ho letto attentamente il procedimento della prof ; rispiego in dettaglio il " mio " :
Ho cercato il rango della matrice dei coefficienti e, in questo caso fortunato ho trovato che è 2 , indipendentemente dal valore di k .
Infatti trovo un minore , quello formato dalle ultime 2 righe $((3,-6),(1,1)) $ che ha determinante $ ne 0 $ .
Quindi r(A) = 2 .
Adesso devo vedere se il sistema ha soluzioni : le ha se e solo se ( Teorema di Rouchè Capelli )
r(A) = r(A|b).
Devo quindi valutare il rango della matrice completa.
Parto sempre dal minore $((3,-6),(1,1))$ e lo orlo in tutti i modi possibili che sono solo 2 .
Primo : $(( k,-4,-10),(3,-6,-15),(1,1,2))$ il cui determinante vale : $ 3k-6$ .
Secondo : $((1,-2,-5),(3,-6,-15),( 1,1,2))$ che ha determinante = 0 .
Considero il Primo :
ha determinante = 0 per k = 2 e allora in questo caso r[A|b* ]= 2 e quindi ci sono soluzioni
ha determinante $ne 0 $ per $k ne 2 $ e allora r[A|b] = 3 e quindi non ci sono soluzioni.
Ho cercato il rango della matrice dei coefficienti e, in questo caso fortunato ho trovato che è 2 , indipendentemente dal valore di k .
Infatti trovo un minore , quello formato dalle ultime 2 righe $((3,-6),(1,1)) $ che ha determinante $ ne 0 $ .
Quindi r(A) = 2 .
Adesso devo vedere se il sistema ha soluzioni : le ha se e solo se ( Teorema di Rouchè Capelli )
r(A) = r(A|b).
Devo quindi valutare il rango della matrice completa.
Parto sempre dal minore $((3,-6),(1,1))$ e lo orlo in tutti i modi possibili che sono solo 2 .
Primo : $(( k,-4,-10),(3,-6,-15),(1,1,2))$ il cui determinante vale : $ 3k-6$ .
Secondo : $((1,-2,-5),(3,-6,-15),( 1,1,2))$ che ha determinante = 0 .
Considero il Primo :
ha determinante = 0 per k = 2 e allora in questo caso r[A|b* ]= 2 e quindi ci sono soluzioni
ha determinante $ne 0 $ per $k ne 2 $ e allora r[A|b] = 3 e quindi non ci sono soluzioni.
ok, ho capito.
Certo mi piacerebbe capire anche il metodo che ha usato quella pazza scelerata, a lezione.
Inoltre, io sapevo che il teorema di rouchè-capelli dicese che nell'impossibilità di usare Cramer si passa al teorema suddetto cercando il determinante di una minore ed utilizzando quel determinante come determinante fondamentale per il calcolo delle incognite. Quella scema non c'vave adetto nulla del confronto fra il determinante della completa con quella incompoleta. Ci aveva solo detto che il rango dell'orlato deve essere PER FORZA =0 per ammettere soluzioni.... Ma da quello che ho capito non è la sola condizione:
L'orlato deve essere 0 perchè in questo modo, facendo scendere di rango la matrice 3x3 costruita sulla minore, ne abbassa il rango a 2, che è quello della matrice incompleta.
Detto così almeno ha un significato logistico, no?
Se qualcuno ha chiaro il procedimento svolto dalla pazza in classe, sarei felicissimo di scoprirne gli arcani segreti! ^^
Certo mi piacerebbe capire anche il metodo che ha usato quella pazza scelerata, a lezione.
Inoltre, io sapevo che il teorema di rouchè-capelli dicese che nell'impossibilità di usare Cramer si passa al teorema suddetto cercando il determinante di una minore ed utilizzando quel determinante come determinante fondamentale per il calcolo delle incognite. Quella scema non c'vave adetto nulla del confronto fra il determinante della completa con quella incompoleta. Ci aveva solo detto che il rango dell'orlato deve essere PER FORZA =0 per ammettere soluzioni.... Ma da quello che ho capito non è la sola condizione:
L'orlato deve essere 0 perchè in questo modo, facendo scendere di rango la matrice 3x3 costruita sulla minore, ne abbassa il rango a 2, che è quello della matrice incompleta.
Detto così almeno ha un significato logistico, no?
Se qualcuno ha chiaro il procedimento svolto dalla pazza in classe, sarei felicissimo di scoprirne gli arcani segreti! ^^
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