Sistema lineare di equazioni

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Ciao, avrei una domanda di curiosità riguardo al teorema di Rouché-Capelli ai sistemi di equazione lineare a \( p \) equazioni e \(n \) incognite a coefficienti in un campo \(K \)
Sia dunque il sistema seguente
\( A \cdot \mathbf x = \mathbf b \)
Vedo scritto spesso che il teorema afferma che se \( \operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A) \) allora possiede soluzioni, e inoltre se \( \operatorname{rk}(A) = n \) possiede un unica soluzione mentre invece se \( \operatorname{rk}(A) < n \) allora il sistema possiede un infinita di soluzioni.

La mia domanda è, non sarebbe più corretto dire: se \( \operatorname{rk}(A) < n \) allora il sistema possiede più soluzioni.
In quanto stiamo lavorando in un campo \( K \) qualsiasi, se abbiamo un sistema a coefficienti \( \mathbb{F}_p \) con \(p \) un numero primo, tale che \( \operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A) < n \) allora il sistema possiede più soluzioni ma non infinite!
Ad esempio il seguente sistema in \( \mathbb{F}_3 \)
\( \left\{\begin{matrix}
x& &+z & = 1 \\
& y & +2z & = 2\\
\end{matrix}\right. \)
Abbiamo che \(\operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A) < 3 \) ma possiede come soluzioni \( (x,y,z) \) solamente
\( S = \{ (1,2,0), (0,0,1), (2,1,2) \} \) e non infinite

[Magma1]

"3m0o":

\( \left\{\begin{matrix}
x& &+z & = 1 \\
& y & +2z & = 2\\
\end{matrix}\right. \)

Consideriamo il sistema omogeneo associato a quello da te proposto

$S_o :qquad ((1,0,1),(0,1,2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

la matrice dei coefficiente è già ridotta a scalini, quindi scegliamo come incognita libera $z$:, ottenendo le seguenti soluzioni:

${ ( x=-z ),( y=-2z),(z in RR ):} hArr ((x),(y),(z))=((-z),(-2z),(z))=z((-1),(-2),(1))$

il cui insieme delle soluzioni è

$V=mathcalL{((-1),(-2),(1))}$

i conti tornano in quanto, per Kroncker-Rouché-Capelli, il sistema $S_o$ ammette$oo^(3-2)=oo^1$ soluzioni.

La soluzione del sistema di partenza è del tipo

$S=S_o +S_p$

con $S_p$ soluzione particolare del sistema lineare non omogeno.


Perché si dice che un sistema un'infinità di soluzioni? Perché una qualsiasi CL dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è soluzione per il sistema considerato. Ad esempio, in questo caso,

$A(alphaX)=bar0$

essendo l'insieme delle soluzione uno spazio vettoriale, $alphaX in V$; infatti

$alphaAX=bar0, qquad AA alpha in RR$

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"Magma":
la matrice dei coefficiente è già ridotta a scalini, quindi scegliamo come incognita libera $z$:, ottenendo le seguenti soluzioni:

${ ( x=-z ),( y=-2z),(z in RR ):} hArr ((x),(y),(z))=((-z),(-2z),(z))=z((-1),(-2),(1))$

Scusa io intendevo con \( z \in \mathbb{F}_3=\{0,1,2\} \) allora non ha infinite soluzione,... chiaramente in \( \mathbb{R} \) ha infinite soluzioni. O sbaglio?

[Magma1]

"3m0o":
Scusa io intendevo con \( z \in \mathbb{F}_3=\{0,1,2\} \) allora non ha infinite soluzione,... chiaramente in \( \mathbb{R} \) ha infinite soluzioni. O sbaglio?

Opss… Non avevo letto tutto il post. Comunque non capisco cosa intendi, quindi è meglio se risponde qualcun altro.

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"Magma":
Opss… Non avevo letto tutto il post. Comunque non capisco cosa intendi, quindi è meglio se risponde qualcun altro.

Magari mi sono spiegato male io.
Considerando il seguente sistema
\( A \cdot \mathbf x = \mathbf b \)
A coefficenti in \( \mathbb{F}_3 \), \( \mathbf b \in \mathbb{F}_3^2 \) e \( \mathbf x \in \mathbb{F}_3^3 \)
Con
\( A = \begin{pmatrix}
1 & 0 &1 \\
0 & 1 &2
\end{pmatrix} \), \( \mathbf x = \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} \) e \( \mathbf b = \begin{pmatrix}
1\\
2\\
\end{pmatrix}\)


Forse è un problema di notazione, con \( \mathbb{F}_3 \) indico \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) allora la variabile libera (nel nostro caso \( z \) ) può assumere come valori solamente \( 0,1 \) oppure \( 2 \) e segue che l'insieme delle soluzioni non può essere infinito. L'insieme delle soluzioni del nostro sistema è dato da

\( \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1-\alpha\\
2-2\alpha\\
\alpha
\end{pmatrix}\) con \( \alpha \in \mathbb{F}_3 \) segue che le uniche soluzioni del nostro sistema sono
\( \alpha = 0 \) , \( \begin{pmatrix}
1\\
2\\
0
\end{pmatrix}\) che soddisfa le equazioni del sistema
\( \left\{\begin{matrix} 1& &+0 & = 1 \\ & 2 & +0 & = 2\\ \end{matrix}\right. \)

\( \alpha = 1 \) , \( \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}\) che soddisfa le equazioni del sistema
\( \left\{\begin{matrix} 0& &+1 & = 1 \\ & 0 & +2 & = 2\\ \end{matrix}\right. \)

\( \alpha = 2 \) , \( \begin{pmatrix}
2\\
1\\
2
\end{pmatrix}\) che soddisfa le equazioni del sistema
\( \left\{\begin{matrix} 2& &+2 & = 1 \\ & 1 & +1 & = 2\\ \end{matrix}\right. \)

Ma non ci sono altre soluzioni possibili in quanto \( \alpha \) non può assumere altri valori! Dunque è scorretto parlare di infinite soluzioni se \(\operatorname{rk}(A | \mathbf b) =\operatorname{rk}(A) < n \), è corretto dire che ci sono più soluzioni, o sbaglio?

[axpgn]

Però l'insieme viene "esaurito" tutto e da un certo punto di vista le soluzioni sono infinite dato che quelle sono classi di infiniti elementi ...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si, sono d'accordo che l'insieme viene "esaurito" tutto e sono d'accordo che i suoi elementi sono classi di infiniti elementi però il campo \( \mathbb{F}_3 \) contiene 3 elementi, che poi i suoi elementi sono classi di equivalenze che possiedono infiniti elementi è un'altra cosa! Tant'è che la cardinalità dell'insieme \( \mathbb{F}_3 \) è 3 mica infinito! Il sistema sopra possiede solamente 3 soluzioni di \( \mathbb{F}_3 \) non infinite, perché è un campo finito, No?

[gugo82]

Credo che usualmente si faccia la tacita ipotesi che il campo $mathbb(K)$ abbia caratteristica $0$, i.e. che $mathbb(K)$ non sia finito.