Sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite con parametro
Scusate gente ma sto facendo un sacco di confusione misà...cioè da quello che ho capito un sistema è impossibile se il rango della matrice incompleta, differisce dal rango della matrice completa. Il rango da quello che ho capito non è altro che l'ordine maggiore della matrice estraibile con determinante diverso da zero...
Considerando questo esercizio però:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_4.pdf
si va a calcolare il determinante della matrice complete e si dice che se esso è diverso da zero il sistema è impossibile? Perché? Per definizione di rango non avrei dovuto calcolare il determinante della incompleta e porre che quando è diversa da zero, allora si ha una sola soluzione perché posso estrarre una 3x3 con determinante diverso da zero da quella completa e quindi il rango è 3...?
Scusate ma ho una gran confusione in testa, spero che qualcuno possa chiarimi un po' le idee...
Considerando questo esercizio però:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_4.pdf
si va a calcolare il determinante della matrice complete e si dice che se esso è diverso da zero il sistema è impossibile? Perché? Per definizione di rango non avrei dovuto calcolare il determinante della incompleta e porre che quando è diversa da zero, allora si ha una sola soluzione perché posso estrarre una 3x3 con determinante diverso da zero da quella completa e quindi il rango è 3...?
Scusate ma ho una gran confusione in testa, spero che qualcuno possa chiarimi un po' le idee...
Risposte
Guarda c'è un modo semplicissimo per ricordare tutto:
Se hai una matrice A (m x n) e un vettore b, indichiamo con (A|b) la matrice completa.
Se $rank(A|b) = rank(A)$ allora si hanno $\infty ^ (n-rank(A))$ soluzioni.
Se $rank(A|b) != rank(A)$ allora non si hanno soluzioni.
Quindi facciamo qualche ipotesi...
Se:
Se hai una matrice A (m x n) e un vettore b, indichiamo con (A|b) la matrice completa.
Se $rank(A|b) = rank(A)$ allora si hanno $\infty ^ (n-rank(A))$ soluzioni.
Se $rank(A|b) != rank(A)$ allora non si hanno soluzioni.
Quindi facciamo qualche ipotesi...
Se:
- n = 3
- rank(A) = rank(A|b)
- rank(A) = 3
[/list:u:3hufy5pf]
Allora esistono soluzioni e sono $\infty^3-3 = \infty^0 = 1$
Se:
- n = 3
- $rank(A) != rank(A|b)$
- rank(A) = 3
- rank(A|b) = 4
[/list:u:3hufy5pf]
Non esistono soluzioni
Se:
- n = 3
- $rank(A) = rank(A|b)$
- rank(A) = 2
[/list:u:3hufy5pf]
Allora esistono soluzioni e sono $\infty^3-2 = \infty^1 = \infty$
Se:
- n = 3
- $rank(A) = rank(A|b)$
- rank(A) = 1
[/list:u:3hufy5pf]
Allora esistono soluzioni e sono $\infty^3-1 = \infty^2$
Se ti potesse essere utile ho risolto un esercizio simile al tuo in questo topic: https://www.matematicamente.it/forum/dim ... 56997.html
Grazie per la risposta. Cercherò di ristudiare a fondo il tutto e meditare su quanto studiato 
SE non riuscirò comunque ad avere le idee più chiare sulle determinazioni dei ranghi mi farò risentire
SE non riuscirò comunque ad avere le idee più chiare sulle determinazioni dei ranghi mi farò risentire
Allora ho rivisto il tutto e cerco di spiegarvi il mio problema concettuale.
Ribadiamo il fatto che il rango di una matrice è l'ordine del determinante più alto estraibile, con determinante diverso da zero.
Il mio problema a quanto sembra sta qui: quando parliamo di determinante estraibile, avendo per esempio una matrice 4 x 4, dobbiamo iniziare da quelle di ordine 3x3 e calcolarne il determinante? Se uno di questi determinanti di un minore estratto 3 x 3 è diverso da 0 allora il rango della matrice è 3.
Sembra così chiara la faccenda, ma poi vado a confondermi...ho trovato questi vari esercizi svolti che sono sui sistemi parametrici che sono quelli che dovrebbero esserci all'esame.
Allora, ai primi 2 mi sembra che tutto scorra liscio, mentre poi mi sembra di non aver capito niente, mi spiego.
Questo sono i primi 2 esercizi:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_1.pdf
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_2.pdf
In questi il ragionamento che si fa a fare mi sembra appunto plausibile, ovvero: vado a considerare la matrice dei coefficienti(che è la incompleta) e vado a dire che se il determinante è diverso da zero, ho una sola soluzione che vado a calcolare con il metodo di Cramer...qui sta il punto!
Da quello che ho capito io, posso dire di avere una sola soluzione in quanto, essendo il determinante della incompleta diverso da zero, mi assicura che il rango di questa sia 3, quindi è uguale a quella della completa in quanto posso estrarre da essa un minore di ordine 3 con determinante diverso da zero(anche la stessa incompleta)! E qui sta il punto! Detto così sembra appunto che anche considerando la completa, per determinare il rango devo comunque andare a estrarre una matrice con una colonna in meno delle totali per capirci...in pratica quello che viene chiamato rigororsamente un minore, una sottomatrice...
E fin qui sembra tutto ok...
Passiamo al 3 esercizio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_3.pdf
In pratica ho k>n (numero di equazioni maggiori del numero di incognite) e quindi se non ho equazioni linearmente dipendenti è impossibile...qui però nasce il primo controsenso a tutto ciò che mi sembrava chiaro: si va a calcolare il determinante della completa e si dice che se questo è diverso da zero il suo rango è 3...ma come??? Per parlare di rango non si doveva tirare sempre in ballo il determinante di un minore estratto???
Ecco è questa la mia perplessità...così come anche nel 4 esercizio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_4.pdf
si va a calcolare il rango della completa considerando il determinante non di un minore, ma della matrice in sè...
Sarò io che sono distratto o sarà che mi sfugge qualche concetto fondamentale, ma non riesco a spiegarmi queste variazioni nell'operare...c'è qualcuno che potrebbe chiarirmi una volta per tutte questo dubbio?
Ve ne sarei grato, perché oltre ad algebra lineare il compito conterrà anche esercizi di geometria analitica, funzioni in 2 variabili ed equazioni differenziali, su cui devo ancora esercitarmi(e di cui devo ancora studiare la teoria!
) , quindi non vorrei fossilizzarmi su quest'argomento, ma è necessario per andare avanti che chiarisca questo fatto...grazie a chi interverrà 
Ribadiamo il fatto che il rango di una matrice è l'ordine del determinante più alto estraibile, con determinante diverso da zero.
Il mio problema a quanto sembra sta qui: quando parliamo di determinante estraibile, avendo per esempio una matrice 4 x 4, dobbiamo iniziare da quelle di ordine 3x3 e calcolarne il determinante? Se uno di questi determinanti di un minore estratto 3 x 3 è diverso da 0 allora il rango della matrice è 3.
Sembra così chiara la faccenda, ma poi vado a confondermi...ho trovato questi vari esercizi svolti che sono sui sistemi parametrici che sono quelli che dovrebbero esserci all'esame.
Allora, ai primi 2 mi sembra che tutto scorra liscio, mentre poi mi sembra di non aver capito niente, mi spiego.
Questo sono i primi 2 esercizi:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_1.pdf
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_2.pdf
In questi il ragionamento che si fa a fare mi sembra appunto plausibile, ovvero: vado a considerare la matrice dei coefficienti(che è la incompleta) e vado a dire che se il determinante è diverso da zero, ho una sola soluzione che vado a calcolare con il metodo di Cramer...qui sta il punto!
Da quello che ho capito io, posso dire di avere una sola soluzione in quanto, essendo il determinante della incompleta diverso da zero, mi assicura che il rango di questa sia 3, quindi è uguale a quella della completa in quanto posso estrarre da essa un minore di ordine 3 con determinante diverso da zero(anche la stessa incompleta)! E qui sta il punto! Detto così sembra appunto che anche considerando la completa, per determinare il rango devo comunque andare a estrarre una matrice con una colonna in meno delle totali per capirci...in pratica quello che viene chiamato rigororsamente un minore, una sottomatrice...
E fin qui sembra tutto ok...
Passiamo al 3 esercizio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_3.pdf
In pratica ho k>n (numero di equazioni maggiori del numero di incognite) e quindi se non ho equazioni linearmente dipendenti è impossibile...qui però nasce il primo controsenso a tutto ciò che mi sembrava chiaro: si va a calcolare il determinante della completa e si dice che se questo è diverso da zero il suo rango è 3...ma come??? Per parlare di rango non si doveva tirare sempre in ballo il determinante di un minore estratto???
Ecco è questa la mia perplessità...così come anche nel 4 esercizio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_4.pdf
si va a calcolare il rango della completa considerando il determinante non di un minore, ma della matrice in sè...
Sarò io che sono distratto o sarà che mi sfugge qualche concetto fondamentale, ma non riesco a spiegarmi queste variazioni nell'operare...c'è qualcuno che potrebbe chiarirmi una volta per tutte questo dubbio?
Ve ne sarei grato, perché oltre ad algebra lineare il compito conterrà anche esercizi di geometria analitica, funzioni in 2 variabili ed equazioni differenziali, su cui devo ancora esercitarmi(e di cui devo ancora studiare la teoria!
) , quindi non vorrei fossilizzarmi su quest'argomento, ma è necessario per andare avanti che chiarisca questo fatto...grazie a chi interverrà
up...help me please 
Allora... cerco di rispiegarti il tutto partendo dall'esercizio 3.
il sistema che hai è:
$\{(kx+y = -1), (4x+2y=-k), (6x + 3y = -3):}$
Quindi la matrice incompleta A sarà composta dai coefficienti delle tue variabili:
$A = ((k, 1),(4,2),(6,3))$
E' una matrice 3x2, ricordati sempre che PRIMA si indicano le righe (3) e poi le colonne (2)
il vettore dei termini noti b è:
$b=((-1), (-k),(-3))$
E la matrice completa:
$(A|b) = ((k, 1,-1),(4,2,-k),(6,3, -3)) $
==================================================================
Facciamo un po' di ordine mentale. Partendo dalla matrice Z, se voglio calcolarne il rango mi interessano il maggior numero di colonne (o righe) linearmente indipendenti. Se esistono n righe linearmente dipendenti dalle altre, ci sono anche n colonne dip. dalle altre.
Un metodo matematico per valutare il rango della matrice Z, calcolo il suo determinante e se è diverso da 0 allora l'ordine della matrice che hai preso in considerazione è il rango. Quindi come prima cosa parti calcolando il determinante di tutta la matrice e non come sostieni tu, cioè partendo dai minori. Se poi il determinante della matrice è 0, prendi tutti i minori con ordine più piccolo di 1 e ricontrolli i determinanti, così fino a quando non ne trovi una con det diverso da 0. Quindi se Z è una 4x4, il rango può avere i valori {4,3,2,1}. ATTENZIONE... se non ha rango quattro e vai a considerare i determinanti 3x3, basta che una delle 3x3 abbia determinante diverso da 0 per far si che TUTTA LA MATRICE abbia rango 3. Quindi devi provare tutte le combinazioni possibili di matrici 3x3. Un trucco un po' più sveglio (anziché andare a tentativi) è cercare QUALI righe e colonne sono linearmente dipendenti e cancellare quelle, così dopo sai già quale 3x3 valutare (composta dagli unici elementi rimasti eliminando una riga e una colonna).
ADESSO, il problema che ha ti ha confuso le idee è questa regola: SI PUO' CALCOLARE IL DETERMINANTE SOLTANTO SE LA MATRICE E' QUADRATA, quindi quando ne hai una rettangolare il determinante non c'è. Però ha comunque un rango che può essere al massimo pari al suo lato più piccolo.
nel caso della nostra matrice incompleta:
$A = ((k, 1),(4,2),(6,3))$, devo andare a prendere una di queste due matrici:
$|(k, 1),(4,2)| = 2k-4$ oppure $|(k, 1),(6,3)| = 3k-6$
anche perché: $|(4, 2),(6,3)| = 0, AA k$
in particolare ti faccio notare che:
$2k-4 = 0 => k =2$ e che $3k-6 = 0 => k = 2$
Quindi delle due matrici possibili, ti basta prenderne una delle due, perché il valore di k che annulla il determinante è uguale per entrambi i casi.
quindi abbiamo stabilito che $rank(A) = 2$ (cioè ha valore massimo per una matrice 3x2).
Passiamo adesso alla matrice completa:
$|(k, 1,-1),(4,2,-k),(6,3, -3)||(k, 1),(4,2),(6,3)| = -6k -6k - 12 - (-12 -3k^2 -12) = 3k^2 -12k + 12 $
$k^2 - 4k +4 = 0$
$k_(1,2) = \frac{4 +- sqrt(16 -16)}{2} = 2$
Quindi il determinante della completa è 0 solo per k = 2.
Ma con k = 2...
$|(2, 1,-1),(4,2,-2),(6,3, -3)|$
NOTA BENE: Guarda le colonne... La 3° è l'opposto della seconda, la 1° è il doppio della 2°. Quindi 2 di questi 3 vettori colonna sono dipendenti da 1 soltanto, in altre parole il rango della matrice completa con k = 2 è pari ad 1
La situazione è che $Per t!= 2, rank(A) = 2, rank(A|b) = 3$
e $Per t= 2, rank(A) = 1, rank(A|b) = 1$
Che in altre parole significa che per t=2, i ranghi coincidono e si hanno: $\infty^(n - rank(A)) = \infty^(2-1) = \infty^1$ soluzioni
dove n è il numero delle colonne di A (3x2 mxn)
Ma per $t!= 2$ i ranghi sono diversi e quindi il sistema è impossibile.
Una curiosità, dove studi (Geograficamente parlando)?
il sistema che hai è:
$\{(kx+y = -1), (4x+2y=-k), (6x + 3y = -3):}$
Quindi la matrice incompleta A sarà composta dai coefficienti delle tue variabili:
$A = ((k, 1),(4,2),(6,3))$
E' una matrice 3x2, ricordati sempre che PRIMA si indicano le righe (3) e poi le colonne (2)
il vettore dei termini noti b è:
$b=((-1), (-k),(-3))$
E la matrice completa:
$(A|b) = ((k, 1,-1),(4,2,-k),(6,3, -3)) $
==================================================================
Facciamo un po' di ordine mentale. Partendo dalla matrice Z, se voglio calcolarne il rango mi interessano il maggior numero di colonne (o righe) linearmente indipendenti. Se esistono n righe linearmente dipendenti dalle altre, ci sono anche n colonne dip. dalle altre.
Un metodo matematico per valutare il rango della matrice Z, calcolo il suo determinante e se è diverso da 0 allora l'ordine della matrice che hai preso in considerazione è il rango. Quindi come prima cosa parti calcolando il determinante di tutta la matrice e non come sostieni tu, cioè partendo dai minori. Se poi il determinante della matrice è 0, prendi tutti i minori con ordine più piccolo di 1 e ricontrolli i determinanti, così fino a quando non ne trovi una con det diverso da 0. Quindi se Z è una 4x4, il rango può avere i valori {4,3,2,1}. ATTENZIONE... se non ha rango quattro e vai a considerare i determinanti 3x3, basta che una delle 3x3 abbia determinante diverso da 0 per far si che TUTTA LA MATRICE abbia rango 3. Quindi devi provare tutte le combinazioni possibili di matrici 3x3. Un trucco un po' più sveglio (anziché andare a tentativi) è cercare QUALI righe e colonne sono linearmente dipendenti e cancellare quelle, così dopo sai già quale 3x3 valutare (composta dagli unici elementi rimasti eliminando una riga e una colonna).
ADESSO, il problema che ha ti ha confuso le idee è questa regola: SI PUO' CALCOLARE IL DETERMINANTE SOLTANTO SE LA MATRICE E' QUADRATA, quindi quando ne hai una rettangolare il determinante non c'è. Però ha comunque un rango che può essere al massimo pari al suo lato più piccolo.
nel caso della nostra matrice incompleta:
$A = ((k, 1),(4,2),(6,3))$, devo andare a prendere una di queste due matrici:
$|(k, 1),(4,2)| = 2k-4$ oppure $|(k, 1),(6,3)| = 3k-6$
anche perché: $|(4, 2),(6,3)| = 0, AA k$
in particolare ti faccio notare che:
$2k-4 = 0 => k =2$ e che $3k-6 = 0 => k = 2$
Quindi delle due matrici possibili, ti basta prenderne una delle due, perché il valore di k che annulla il determinante è uguale per entrambi i casi.
quindi abbiamo stabilito che $rank(A) = 2$ (cioè ha valore massimo per una matrice 3x2).
Passiamo adesso alla matrice completa:
$|(k, 1,-1),(4,2,-k),(6,3, -3)||(k, 1),(4,2),(6,3)| = -6k -6k - 12 - (-12 -3k^2 -12) = 3k^2 -12k + 12 $
$k^2 - 4k +4 = 0$
$k_(1,2) = \frac{4 +- sqrt(16 -16)}{2} = 2$
Quindi il determinante della completa è 0 solo per k = 2.
Ma con k = 2...
$|(2, 1,-1),(4,2,-2),(6,3, -3)|$
NOTA BENE: Guarda le colonne... La 3° è l'opposto della seconda, la 1° è il doppio della 2°. Quindi 2 di questi 3 vettori colonna sono dipendenti da 1 soltanto, in altre parole il rango della matrice completa con k = 2 è pari ad 1
La situazione è che $Per t!= 2, rank(A) = 2, rank(A|b) = 3$
e $Per t= 2, rank(A) = 1, rank(A|b) = 1$
Che in altre parole significa che per t=2, i ranghi coincidono e si hanno: $\infty^(n - rank(A)) = \infty^(2-1) = \infty^1$ soluzioni
dove n è il numero delle colonne di A (3x2 mxn)
Ma per $t!= 2$ i ranghi sono diversi e quindi il sistema è impossibile.
Una curiosità, dove studi (Geograficamente parlando)?
Grazie mille per la risposta, il mio problema era proprio non ricordare il fondamentale fatto che la matrice deve essere quadrata per calcolarne il determinante!! Quindi se ne abbiamo una 4x3 forzatamente devo andare a considerare una 3x3: era questo che mi impicciava il tutto...
Alla fine penso mi sia più o meno chiaro il resto...delle volte basta un piccolo tassello mancante per non capirci più nulla...grazie ancora, ciao
p.s.: studio ingegneria a Cassino
Alla fine penso mi sia più o meno chiaro il resto...delle volte basta un piccolo tassello mancante per non capirci più nulla...grazie ancora, ciao
p.s.: studio ingegneria a Cassino
delle volte basta un piccolo tassello mancante per non capirci più nulla...
Eh eh... ne so qualcosa... ho bocciato di recente un compito di algebra perché avevo una matrice con parametro 4x4 senza elementi di valore 0, e calcolare il determinante era assurdo. Bastava usare le mosse di gauss per creare degli zeri, ma l'esame ormai è andato...
capisco...saprai rifarti al prossimo buona fortuna e grazie ancora.
buona fortuna e grazie ancora.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo