Sistema lineare con parametro a 3x2
ho il seguente sistema lineare
${((a-1)x+2ay=1),(x+2y=0),(-ax+(a^2-4)y=a):}$ e il testo mi chiede quale asserzione è FALSA:
A)il sistema non è mai indeterminato
B)per $a=+-2$ la coppia $(-1,1/2)$ è l'unica soluzione del problema
C)per $a=0$ il sistema è impossibile
D)esistono infiniti valori di $a in RR$ per cui il sistema è possibile
E)per $a in RR$$ \$${+-2}$, il sistema è impossibile
allora ho iniziato a calcolarmi la matrice $A$ e facendo cosi:
$A((a-1),2a),(1,2)$=$-2$ adesso non capisco cosa sia questo $-2$ perchè non è un valore di $a$ ma il determinante della matrice quindi significa che per qualsiasi valore di $a$,$r(A)=2$ sempre?
poi invece mi calcolo B e ottengo due valori, per $a=+-2$ $r(B)=1$ ma quindi qual è la risposta falsa?
${((a-1)x+2ay=1),(x+2y=0),(-ax+(a^2-4)y=a):}$ e il testo mi chiede quale asserzione è FALSA:
A)il sistema non è mai indeterminato
B)per $a=+-2$ la coppia $(-1,1/2)$ è l'unica soluzione del problema
C)per $a=0$ il sistema è impossibile
D)esistono infiniti valori di $a in RR$ per cui il sistema è possibile
E)per $a in RR$$ \$${+-2}$, il sistema è impossibile
allora ho iniziato a calcolarmi la matrice $A$ e facendo cosi:
$A((a-1),2a),(1,2)$=$-2$ adesso non capisco cosa sia questo $-2$ perchè non è un valore di $a$ ma il determinante della matrice quindi significa che per qualsiasi valore di $a$,$r(A)=2$ sempre?
poi invece mi calcolo B e ottengo due valori, per $a=+-2$ $r(B)=1$ ma quindi qual è la risposta falsa?
Risposte
Mah, io (visto che il sistema ha più equazioni che incognite) ho fatto così:
dalla seconda equazione ricavi $x=-2y$ e sostituisci nella prima, che diventa: $-2y(a-1)+2ay=1$__$Rightarrow$__$2y=1$,
il che comporta che dev'essere $y=1/2$ (e quindi $x=-1$) indipendentemente da $a$;
mettendo allora $y=1/2$ e $x=-1$ nella terza equazione trovi: $a+1/2(a^2-4)=a$__$rightarrow$__$a^2-4=0$, che può essere vera solo nei due casi $a=\pm2$. Per tutti gli altri valori di $a$ il sistema è evidentemente impossibile, perchè la terza sarebbe un'equazione in cui un numero non nullo viene uguagliato a zero.
dalla seconda equazione ricavi $x=-2y$ e sostituisci nella prima, che diventa: $-2y(a-1)+2ay=1$__$Rightarrow$__$2y=1$,
il che comporta che dev'essere $y=1/2$ (e quindi $x=-1$) indipendentemente da $a$;
mettendo allora $y=1/2$ e $x=-1$ nella terza equazione trovi: $a+1/2(a^2-4)=a$__$rightarrow$__$a^2-4=0$, che può essere vera solo nei due casi $a=\pm2$. Per tutti gli altri valori di $a$ il sistema è evidentemente impossibile, perchè la terza sarebbe un'equazione in cui un numero non nullo viene uguagliato a zero.
ho capito il tuo ragionamento....io invece sai cosa facevo?! ho preso un minore di A e ho calcolato il determinante che era sempre diverso da 0, quindi ho dedotto che il rango di A è sempre uguale a 2.......poi ho calcolato il determinante della matrice B e ho visto che per $a=+-2$ si azzerava e quindi il rango per questi valori è 1.....per la teoria un sistema ha una e una sola soluzione se il sistema è possibile e determinato e questo è possibile solo se $r(A)=r(B)=n$....questo mio ragionamento quindi è sbagliato?
quello che c'è scritto in questo link lo so già....parla solo di matrici quadrate....non parla di matrici non quadrate
Bello vedere che post imbecilli come questo ricevano centinaia di risposte e i miei nessuno li guarda che schifo di forum
"silvia_85":
quello che c'è scritto in questo link lo so già....parla solo di matrici quadrate....non parla di matrici non quadrate
Il link che ti ho mandato contiene informazioni del tutto generali, non importa che le matrici associate siano quadrate o meno.
come no??? certo che si...anche perchè io ho fatto tutto quello che c'è scritto sul link.....ed è per questo che sono arrivata alle mia conclusioni....se veramente vuoi aiutarmi ,e non fare come sta facendo qualche utente maleducato, puoi vedere il mio primo post? li ho inserito tutti i calcoli e il procedimento che ho usato.... 
grazie comunque per l'aiuto
grazie comunque per l'aiuto
@troppoforte92: poniti qualche domanda in merito.
Se non ti piace questo forum, credo che il web offra un numero esorbitante di alternative.
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questo forum non mi piace infatti,poi che ne sai se sono una persona spiacevole? mi conosci? io dico solo che ho posto delle domande e in 3 giorni ho ricevuto solo una risposta che diceva che il post non era chiaro mentre era così chiaro che solo un cretino non riuscirebbe a capire...l'altro non è stato proprio filato...è un'pò frustrante primo perchè non sono il classico studente che viene qua perchè deve fare il compitino per il giorno dopo o che mentre fà l'esame chiede aiuto,anzi sono domande abbastanze curiose(almeno per me) e invece nessuno risponde mentre un post deficiente come questo che non dovrebbe essere in questa sezione perchè è un offesa per la geometria... riceva 3 paginate di risposte a domande che sono veramente.....lasciamo perdere....solo questo me ne vado da questo cesso di forum stai tranquillo...sono arrogante?forse si,anzi sicuramente solo non mi piacciono certe cose Silvia io spero tanto per te che tu passi il tuo esame di geometria o quel che è ma sono sicuro che non lo passerai perchè mio fratello di 10 anni è messo meglio di te...Ciao bel forum è stato un piacere
Innanzitutto scriviamo le matrici associate al sistema:
La matrice dei coefficienti delle incognite del sistema è
$ A_a = ((a-1,2a),(1,2),(-a, a^2-4)) $
La matrice completa del sistema è
$ (A \mathbf{b})_a = ((a-1,2a,1),(1,2,0),(-a, a^2-4,a)) $
Ora studiamo i ranghi delle due matrici al variare del parametro. Cominciamo dalla matrice $ A_a $:
Risulta più comodo ridurla per colonne, pertanto scegliamo $ 1 $ come elemento speciale ed effettuiamo l'operazione $ C_2 − 2C_1 \rightarrow C_2 $; otteniamo la matrice
$ ((a-1,2),(1,0),(-a, a^2+2a-4)) $
la quale ha rango $ 2 $, $ \forall a \in \mathbb{R} $.
Vediamo ora la matrice completa:
Riducendo anche questa per colonne (scegliendo nuovamente $ 1 $ come elemento speciale per la prima colonna) applichiamo la stessa operazione di prima, ottenendo la matrice
$ ((a-1,2,1),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4,a)) $
Per la seconda colonna scegliamo come elemento speciale $ 2 $ e applichiamo l'operazione $ C_3 - \frac{C_2}{2} \rightarrow C_3 $, ottenendo quindi
$ ((a-1,2,0),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4, -\frac{a^2}{2}+2)) $
Di conseguenza, per $ a \ne \pm 2 $ la matrice completa ha rango $ 3 $, mentre per $ a = \pm 2 $ ha rango $ 2 $.
Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette soluzione se e solo se $ r(A_a) = r((A\mathbf{b})_a) $ e tale soluzione è unica se il valore comune dei ranghi è pari al numero delle incognite (in questo caso $ 2 $).
Osserviamo dai calcoli fatti che, per $ a \ne \pm 2 $, $ 2 = r(A) < r(A \mathbf{b}) = 3 $, pertanto il sistema non ammette soluzione.
Se invece $ a = \pm 2 $, allora $ r(A) = r(A\mathbf{b}) = 2 $ e quindi il sistema ha un'unica soluzione (sostituendo i due valori di $ a $ e risolvendo si ottiene in entrambi i casi la coppia $ (-1,\frac{1}{2}) $ come unica soluzione del sistema).
Alla luce di questi fatti, valutiamo le opzioni:
Opzione A: vera.
Opzione B: vera.
Opzione C: vera.
Opzione D: falsa.
Opzione E: vera.
La matrice dei coefficienti delle incognite del sistema è
$ A_a = ((a-1,2a),(1,2),(-a, a^2-4)) $
La matrice completa del sistema è
$ (A \mathbf{b})_a = ((a-1,2a,1),(1,2,0),(-a, a^2-4,a)) $
Ora studiamo i ranghi delle due matrici al variare del parametro. Cominciamo dalla matrice $ A_a $:
Risulta più comodo ridurla per colonne, pertanto scegliamo $ 1 $ come elemento speciale ed effettuiamo l'operazione $ C_2 − 2C_1 \rightarrow C_2 $; otteniamo la matrice
$ ((a-1,2),(1,0),(-a, a^2+2a-4)) $
la quale ha rango $ 2 $, $ \forall a \in \mathbb{R} $.
Vediamo ora la matrice completa:
Riducendo anche questa per colonne (scegliendo nuovamente $ 1 $ come elemento speciale per la prima colonna) applichiamo la stessa operazione di prima, ottenendo la matrice
$ ((a-1,2,1),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4,a)) $
Per la seconda colonna scegliamo come elemento speciale $ 2 $ e applichiamo l'operazione $ C_3 - \frac{C_2}{2} \rightarrow C_3 $, ottenendo quindi
$ ((a-1,2,0),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4, -\frac{a^2}{2}+2)) $
Di conseguenza, per $ a \ne \pm 2 $ la matrice completa ha rango $ 3 $, mentre per $ a = \pm 2 $ ha rango $ 2 $.
Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette soluzione se e solo se $ r(A_a) = r((A\mathbf{b})_a) $ e tale soluzione è unica se il valore comune dei ranghi è pari al numero delle incognite (in questo caso $ 2 $).
Osserviamo dai calcoli fatti che, per $ a \ne \pm 2 $, $ 2 = r(A) < r(A \mathbf{b}) = 3 $, pertanto il sistema non ammette soluzione.
Se invece $ a = \pm 2 $, allora $ r(A) = r(A\mathbf{b}) = 2 $ e quindi il sistema ha un'unica soluzione (sostituendo i due valori di $ a $ e risolvendo si ottiene in entrambi i casi la coppia $ (-1,\frac{1}{2}) $ come unica soluzione del sistema).
Alla luce di questi fatti, valutiamo le opzioni:
Opzione A: vera.
Opzione B: vera.
Opzione C: vera.
Opzione D: falsa.
Opzione E: vera.
"troppoforte92":[xdom="Martino"]troppoforte92, ora propongo il tuo ban definitivo immediato. Per favore non tornare mai più, che fai un favore a tutti, incluso te stesso. Grazie.[/xdom]
questo forum non mi piace infatti,poi che ne sai se sono una persona spiacevole? mi conosci? io dico solo che ho posto delle domande e in 3 giorni ho ricevuto solo una risposta che diceva che il post non era chiaro mentre era così chiaro che solo un cretino non riuscirebbe a capire...l'altro non è stato proprio filato...è un'pò frustrante primo perchè non sono il classico studente che viene qua perchè deve fare il compitino per il giorno dopo o che mentre fà l'esame chiede aiuto,anzi sono domande abbastanze curiose(almeno per me) e invece nessuno risponde mentre un post deficiente come questo che non dovrebbe essere in questa sezione perchè è un offesa per la geometria... riceva 3 paginate di risposte a domande che sono veramente.....lasciamo perdere....solo questo me ne vado da questo cesso di forum stai tranquillo...sono arrogante?forse si,anzi sicuramente solo non mi piacciono certe cose Silvia io spero tanto per te che tu passi il tuo esame di geometria o quel che è ma sono sicuro che non lo passerai perchè mio fratello di 10 anni è messo meglio di te...Ciao bel forum è stato un piacere
"tano_91":
Innanzitutto scriviamo le matrici associate al sistema:
La matrice dei coefficienti delle incognite del sistema è
$ A_a = ((a-1,2a),(1,2),(-a, a^2-4)) $
La matrice completa del sistema è
$ (A \mathbf{b})_a = ((a-1,2a,1),(1,2,0),(-a, a^2-4,a)) $
Ora studiamo i ranghi delle due matrici al variare del parametro. Cominciamo dalla matrice $ A_a $:
Risulta più comodo ridurla per colonne, pertanto scegliamo $ 1 $ come elemento speciale ed effettuiamo l'operazione $ C_2 − 2C_1 \rightarrow C_2 $; otteniamo la matrice
$ ((a-1,2),(1,0),(-a, a^2+2a-4)) $
la quale ha rango $ 2 $, $ \forall a \in \mathbb{R} $.
Vediamo ora la matrice completa:
Riducendo anche questa per colonne (scegliendo nuovamente $ 1 $ come elemento speciale per la prima colonna) applichiamo la stessa operazione di prima, ottenendo la matrice
$ ((a-1,2,1),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4,a)) $
Per la seconda colonna scegliamo come elemento speciale $ 2 $ e applichiamo l'operazione $ C_3 - \frac{C_2}{2} \rightarrow C_3 $, ottenendo quindi
$ ((a-1,2,0),(1,0,0),(-a, a^2+2a-4, -\frac{a^2}{2}+2)) $
Di conseguenza, per $ a \ne \pm 2 $ la matrice completa ha rango $ 3 $, mentre per $ a = \pm 2 $ ha rango $ 2 $.
Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette soluzione se e solo se $ r(A_a) = r((A\mathbf{b})_a) $ e tale soluzione è unica se il valore comune dei ranghi è pari al numero delle incognite (in questo caso $ 2 $).
Osserviamo dai calcoli fatti che, per $ a \ne \pm 2 $, $ 2 = r(A) < r(A \mathbf{b}) = 3 $, pertanto il sistema non ammette soluzione.
Se invece $ a = \pm 2 $, allora $ r(A) = r(A\mathbf{b}) = 2 $ e quindi il sistema ha un'unica soluzione (sostituendo i due valori di $ a $ e risolvendo si ottiene in entrambi i casi la coppia $ (-1,\frac{1}{2}) $ come unica soluzione del sistema).
Alla luce di questi fatti, valutiamo le opzioni:
Opzione A: vera.
Opzione B: vera.
Opzione C: vera.
Opzione D: falsa.
Opzione E: vera.
.....ho fatto esattamente quello che hai fatto tu....ma sicuramente per distrazione sulle soluzioni ottenute da B anzicchè scrivere che per valori ottenuti il rango diventava 2 o scritto 1 e quindi tutte le mia supposizioni erano sbagliate
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