Sistema lineare con parametro
Ho un sitema lineare di qsto tipo:
$ {( x+y+z=4 ),( x+2y+2z=a ),( 2x+3y+az=7):} $
L'esercizio mi chiede di determinare per quali valori del parametro a il sistema ammette soluzione.
Il sistema l'ho risolto con il metodo di Gauss-Jordan:
$ | ( 1 , 1, 1 , 4),(1 , 2, 2 , a ),( 2 , 3 , a ,7 ) | $ => $ | ( 1 , 1 , 1 , 4 ),( 0, 1 , 1 , a-4 ),( 0 ,1 , a-2 , -1) | $
=> $ | (1 , 1 , 1 , 4 ),( 0 , 1 , 1 , a-4 ),( 0 , 0 ,a-3 ,-a+3 ) | $
In qsto modo il sistema ridotto sarà:
$ { ( x+y+z=4 ),(y+z=a-4 ),((a-3)z=-a+3 ):} $
da tale sistema ho come soluzione:
$z=-1;y=a-3; x=-a+7$
Come faccio a determinare i valori del parametro a??
Ringrazio chiunque mi possa aiutare!!
$ {( x+y+z=4 ),( x+2y+2z=a ),( 2x+3y+az=7):} $
L'esercizio mi chiede di determinare per quali valori del parametro a il sistema ammette soluzione.
Il sistema l'ho risolto con il metodo di Gauss-Jordan:
$ | ( 1 , 1, 1 , 4),(1 , 2, 2 , a ),( 2 , 3 , a ,7 ) | $ => $ | ( 1 , 1 , 1 , 4 ),( 0, 1 , 1 , a-4 ),( 0 ,1 , a-2 , -1) | $
=> $ | (1 , 1 , 1 , 4 ),( 0 , 1 , 1 , a-4 ),( 0 , 0 ,a-3 ,-a+3 ) | $
In qsto modo il sistema ridotto sarà:
$ { ( x+y+z=4 ),(y+z=a-4 ),((a-3)z=-a+3 ):} $
da tale sistema ho come soluzione:
$z=-1;y=a-3; x=-a+7$
Come faccio a determinare i valori del parametro a??
Ringrazio chiunque mi possa aiutare!!
Risposte
Ha soluzione se e solo se $rgA=rg(A|B)$
Devi decidere se per $a=3$ il sistema ammette o no soluzioni.
Devi decidere se per $a=3$ il sistema ammette o no soluzioni.
$rgA=rg(A|B)$...che significa? ovvero x te A e B chi sono?
e poi perchè ha soluzione per a=3??
e poi perchè ha soluzione per a=3??
è il teorema di Rouché-Capelli,
$A$ è la matrice incompleta ovvero senza il termine noto
$A|B$ è la matrice completa, ovvero incluso il termine noto
il sistema ammette soluzioni soltanto quando il rango della completa è uguale a quella incompleta
$A$ è la matrice incompleta ovvero senza il termine noto
$A|B$ è la matrice completa, ovvero incluso il termine noto
il sistema ammette soluzioni soltanto quando il rango della completa è uguale a quella incompleta
mi trovo che il $deta=a-5$ Quindi quant'è il $rgA$?
E poi come faccio a valutare il $rgA|B$
E poi come faccio a valutare il $rgA|B$
il $rgA$ sarà 2 quando hai il $deta=0$ quindi per $a=5$, di conseguenza 2 per a diverso da 5.
il rango di A|B lo dovrai valutare nei casi in cui a=5, e diverso da 5
il rango di A|B lo dovrai valutare nei casi in cui a=5, e diverso da 5
di conseguenza 2 per a diverso da 5???
hai ragione ho sbagliato a scrivere per a diverso da 2 il rango è 3
ok. E quindi ritorno al problema precedente come valuto il $rgA!B$??
per $a=5$
$|(1,1,1,4) ,(1,2,2,5) ,(2,3,5,7)|$
per $a=5$
$|(1,1,1,4) ,(1,2,2,5) ,(2,3,5,7)|$
scusa però hai sbagliatoi calcoli... veniva $detA=a-3=0$
quindi la matrice era $A'=((1,1,1,4),(1,2,2,3),(2,3,3,7))$
adesso che abbiamo aggiustato i calcoli... per a=3...
ad esempio prendi la matrice: $B=((1,1,4),(1,2,3),(2,3,7))$
$detA'$ viene diverso da 0, quindi il $rgA'=3$ che però è diverso da $rgA=2$, quindi per a=3 non ammette soluzioni...
Ricordo che $A$ era la matrice incompleta di partenza
ora analogamente studi il caso per a diverso da 3.
quindi la matrice era $A'=((1,1,1,4),(1,2,2,3),(2,3,3,7))$
adesso che abbiamo aggiustato i calcoli... per a=3...
ad esempio prendi la matrice: $B=((1,1,4),(1,2,3),(2,3,7))$
$detA'$ viene diverso da 0, quindi il $rgA'=3$ che però è diverso da $rgA=2$, quindi per a=3 non ammette soluzioni...
Ricordo che $A$ era la matrice incompleta di partenza
ora analogamente studi il caso per a diverso da 3.
scusa ma io mi trovo
$A=| (1,1,1,) , (1,2,2,) , (2,3,a)|$
applico sarrus
=> $|(1,1,1,),(1,2,2,),(2,3,a)| |(1,1),(1,2),(1,3)|$
=>detA=2a+2+3-4-6-a=-5+a=0
$A=| (1,1,1,) , (1,2,2,) , (2,3,a)|$
applico sarrus
=> $|(1,1,1,),(1,2,2,),(2,3,a)| |(1,1),(1,2),(1,3)|$
=>detA=2a+2+3-4-6-a=-5+a=0
"raf88":
=> $ ( (1 , 1 , 1 , 4 ),( 0 , 1 , 1 , a-4 ),( 0 , 0 ,a-3 ,-a+3 ) )$
Se quella è la matrrice ridotta a scala: se $a=3$, l'ultima riga va a $0$, e quindi $rgA=rg(A|B)$. Se $a!=3$, allora $rgA=rg(A|B)$. Sto facendo qualche errore?
se a è diverso da 3 => $rgA$ è diverso da $rg(A|B)$
ti trovi?
ti trovi?
Sinceramente no. 
Perché $rgA!=rg(A|B)$, bisognerebbe che il termine che si trova terza riga terza colonna andasse a zero, mentre il termine terza riga quarta colonna fosse $!=0$. Però: affinché $a-3$, vada a $0$, $a$ deve essere $=3$. Se $a=3$, va a $0$ anche $-a+3$, quindi $rgA=rg(A|B)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo