Sistema lineare con parametro
buongiorno a tutti! 
ho un sistema lineare con il parametro a, e lo devo risolvere al variare di questo parametro.
riesco a risolvere quelli senza parametro, trasformando il sistema in una matrice, e procedo riducendola a scala, e infine riscrivo il sistema trovando i valori delle tre incognite: x,y,z (o mi sbaglio?)
però con il parametro come devo procedere?
vi illustro questo esercizio:
$\{(x + (a - 1)y - 2z = 0),(2x + 3ay - 4z = 0),(6x + (a + 5)y + 2z = 0):}$
la soluzione è: per a$!=$ -2, solo la soluzione banale; per a = -2, $oo^1$ soluzioni: (0, $ - 2/3 $ h, h) con h $in$ $RR$
io ho fatto così: ho impostato la matrice 3x4, ma poi la devo ridurre a scala? dopo come dovrei fare? ho visto che bisognerebbe scambiare le colonne..è vero? poi come arrivo alla soluzione?
so che non è facile spiegare tramite il computer..ogni consiglio è ben accettato!
grazie
(spero di non aver sbagliato a scrivere qualcosa, anche perchè sono nuova..)
ho un sistema lineare con il parametro a, e lo devo risolvere al variare di questo parametro.
riesco a risolvere quelli senza parametro, trasformando il sistema in una matrice, e procedo riducendola a scala, e infine riscrivo il sistema trovando i valori delle tre incognite: x,y,z (o mi sbaglio?)
però con il parametro come devo procedere?
vi illustro questo esercizio:
$\{(x + (a - 1)y - 2z = 0),(2x + 3ay - 4z = 0),(6x + (a + 5)y + 2z = 0):}$
la soluzione è: per a$!=$ -2, solo la soluzione banale; per a = -2, $oo^1$ soluzioni: (0, $ - 2/3 $ h, h) con h $in$ $RR$
io ho fatto così: ho impostato la matrice 3x4, ma poi la devo ridurre a scala? dopo come dovrei fare? ho visto che bisognerebbe scambiare le colonne..è vero? poi come arrivo alla soluzione?
so che non è facile spiegare tramite il computer..ogni consiglio è ben accettato!
grazie
(spero di non aver sbagliato a scrivere qualcosa, anche perchè sono nuova..)
Risposte
"frapulci":
$\{(x + (a - 1)y - 2z = 0),(2x + 3ay - 4z = 0),(6x + (a + 5)y + 2z = 0):}$
Si tratta di un sistema quadrato, quindi basta calcolare il determinante della matrice
dei coefficienti:
$det(A) = 14 a + 28$ .
Il det si annulla solo se $a = -2$, per cui
se $a \ne -2$ si ha un'unica soluzione (essendo il sistema omogeneo si tratta del vettore nullo)
se $a = -2$ si hanno le soluzioni del tipo $((x),(y),(z)) = ((0),(2t),(-3t))$ .
"franced":
[quote="frapulci"]
$\{(x + (a - 1)y - 2z = 0),(2x + 3ay - 4z = 0),(6x + (a + 5)y + 2z = 0):}$
Si tratta di un sistema quadrato, quindi basta calcolare il determinante della matrice
dei coefficienti:
$det(A) = 14 a + 28$ .
Il det si annulla solo se $a = -2$, per cui
se $a \ne -2$ si ha un'unica soluzione (essendo il sistema omogeneo si tratta del vettore nullo)
se $a = -2$ si hanno le soluzioni del tipo $((x),(y),(z)) = ((0),(2t),(-3t))$ .[/quote]
grazie dell'aiuto! però che significa "sistema omogeneo, si tratta del vettore nullo"?
e perchè se $a= -2$ vengono fuori quelle "t"??? e il suo determinante, sostituendo -2 ad a, sarebbe 0 o no?
scusa, ma non ho ben chiaro il procedimento! poi la soluzione che avevo dato mi sembra diversa dalla tua...forse sarà perchè non ho capito...
"frapulci":
grazie dell'aiuto! però che significa "sistema omogeneo, si tratta del vettore nullo"?
e perchè se $a= -2$ vengono fuori quelle "t"??? e il suo determinante, sostituendo -2 ad a, sarebbe 0 o no?
scusa, ma non ho ben chiaro il procedimento! poi la soluzione che avevo dato mi sembra diversa dalla tua...forse sarà perchè non ho capito...
Le nostre soluzioni coincidono: sono scritte in modo diverso, ma risultano equivalenti .
Un sistema è omogeneo se il vettore dei termini noti è nullo.
Ho utilizzato $t$ come parametro (si tratta di una retta di soluzioni, quindi c'è bisogno di un grado di libertà).
non potresti illustrami come hai fatto ad arrivare alla soluzione data da "se $a = -2$"...alla soluzione finale? continuo a non capire...perdonami! ma non mi è mai stato spiegato e non riesco a capire bene il libro. se chiedo troppo dimmelo pure..
grazie comunque
grazie comunque
Se $a=-2$ le equazioni diventano dipendenti come puoi osservare sostituendo ad $a$ il valore $-2$
$\{(x -3y - 2z = 0),(2x -6y - 4z = 0),(6x + 3y + 2z = 0):}$
la prima e la seconda equazioni sono equivalenti, quindi una delle due va eliminata e basta risolvere il sistema avente 2 sole equazioni, ad esempio eliminando la seconda
$\{(x -3y - 2z = 0),(6x + 3y + 2z = 0):}$
poiché le incognite sono 3 e le equazioni 2 devi liberare un'uncognita, puoi porre $z=h$ come nel risultato del tuo libro o $z=-3t$ come aveva proposto franced, in ogni caso adesso al posto di $z$ hai un parametro e puoi risolvere l'esercizio in funzione delle altre due incognite.
$\{(x -3y - 2z = 0),(2x -6y - 4z = 0),(6x + 3y + 2z = 0):}$
la prima e la seconda equazioni sono equivalenti, quindi una delle due va eliminata e basta risolvere il sistema avente 2 sole equazioni, ad esempio eliminando la seconda
$\{(x -3y - 2z = 0),(6x + 3y + 2z = 0):}$
poiché le incognite sono 3 e le equazioni 2 devi liberare un'uncognita, puoi porre $z=h$ come nel risultato del tuo libro o $z=-3t$ come aveva proposto franced, in ogni caso adesso al posto di $z$ hai un parametro e puoi risolvere l'esercizio in funzione delle altre due incognite.
quindi dovrei rifare lo stesso procedimento, ma con solo le due equazioni? devo rifare la matrice (stavolta 2x3?) e rifare il determinante? ho un pò di confusione in testa! sono sempre stati il mio debole i sistemi lineari (in particolare con i parametri e con 3 incognite), non so perchè, ma adirittura mi riescono meglio le derivate, gli integrali e i limiti! forse non mi sono mai stati spiegati bene al liceo...uffi!!! è frustrante!!!
Un sistema di questo calibro non ha bisogno di tante matrici nè di determinanti. Sommando le due equazioni ottieni $x=0$, per la $y$ vedi tu, puoi anche semplicemente sostituire.
"@melia":
Un sistema di questo calibro non ha bisogno di tante matrici nè di determinanti. Sommando le due equazioni ottieni $x=0$, per la $y$ vedi tu, puoi anche semplicemente sostituire.
ma tipo la y verrebbe = $(x-2h)/3$ ??? se fosse così poi dovrei sostituire 0 alla x? e quindi y= $(-2h)/3$
poi ho finito o devo continuare?
scusa se "rompo" di nuovo!
scusa, ora ho riguardato la soluzione che avevo messo all'inizio..ecco ora torna! non avevo visto quali erano le soluzioni...alla fine alla z si è dato un parametro a caso (h) quindi è una soluzione diciamo approssimativa..?cioè decisa da noi..
"frapulci":
quindi è una soluzione diciamo approssimativa..?cioè decisa da noi..
No approssimativa che significa tutt'altro, ma arbitraria, cioè scelta da noi
se posso, vorrei consigliarti di leggere anche un mio post di qualche giorno fa sullo stesso argomento. Non è ampissimo cone discussione, ma mi ha aiutato molto ne comprendere alcuni passaggi. Se ti è di aiuto, questa è la discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/chi ... 43665.html
Ciao
https://www.matematicamente.it/forum/chi ... 43665.html
Ciao
"@melia":
[quote="frapulci"] quindi è una soluzione diciamo approssimativa..?cioè decisa da noi..
No approssimativa che significa tutt'altro, ma arbitraria, cioè scelta da noi[/quote]
ah ok! grazie mille!!!
"ham_burst":
se posso, vorrei consigliarti di leggere anche un mio post di qualche giorno fa sullo stesso argomento. Non è ampissimo cone discussione, ma mi ha aiutato molto ne comprendere alcuni passaggi. Se ti è di aiuto, questa è la discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/chi ... 43665.html
Ciao
grazie! vado subito a vedere!
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