Sistema lineare con 3 equazioni in 4 incognite
ciao a tutti!!!
non riesco a svolgere questo esercizio:
${(x+hy+z+ht=0),(2y+(h+1)z=h-1),(hx+ht=h):}$
allora la matrice incompleta è:
$A=((1,h,1,h),(0,2,(h+1),0),(h,0,0,h))$ mentre quella orlata è $A'=((1,h,1,h,0),(0,2,(h+1),0, (h-1)),(h,0,0,h,h))$
come dovrei impostare la discussione? da quale minore dovrei partire?
vi ringrazio anticipatamente...
non riesco a svolgere questo esercizio:
${(x+hy+z+ht=0),(2y+(h+1)z=h-1),(hx+ht=h):}$
allora la matrice incompleta è:
$A=((1,h,1,h),(0,2,(h+1),0),(h,0,0,h))$ mentre quella orlata è $A'=((1,h,1,h,0),(0,2,(h+1),0, (h-1)),(h,0,0,h,h))$
come dovrei impostare la discussione? da quale minore dovrei partire?
vi ringrazio anticipatamente...
Risposte
Io per gli esercizi di questo tipo non considero i minori. Prendi la matrice orlata, e tenta di metterla a scala. Innanzitutto tenta se ci riesci senza mai dividere una riga per valori che dipendono da h. Se arriva un momento in cui devi per forza dividere, li l'esercizio si "divide". Esempio: devi dividere per h. Allora scrivi "se h è diverso da zero allora si ha" e continui a metterla a scala, e il caso h=0 fallo a mano. Alla fine concludi se ci sono soluzioni o no col teorema di Rouchè-Capelli. Nel tuo caso io mi farei subito i casi h=0 e h=-1 in modo da poter dividere in libertà (in tutta questa discussione ho sempre supposto che la tua matrice sia definita su un campo di caratteristica 0 come R o Q, altrimenti ci sono anche altri numeri oltre zero per cui non puoi dividere). Spero di esserti stato utile
ciao e grazie per la risposta ma non posso usare il metodo che mi hai consigliato tu.
La professoressa vuole che usiamo Cramer e il teorema di rouchè-Capelli...
Quindi fare tutta la discussione sul rango delle matrici.
La professoressa vuole che usiamo Cramer e il teorema di rouchè-Capelli...
Quindi fare tutta la discussione sul rango delle matrici.
Osservando la matrice dei coefficienti si vede che ha rango $>=2 $ in quanto esiste il minore $((1,h),(0,2)) $ che ha determinante $ne 0 $.
Va ora cercato per quali valori di $h $ il rango è $3$.Partendo da questa matrice e orlandola (T.di Kronecker ) si ottengono solo 2 minori $3x3 $ .
*I, II,III colonna .Il determinante relativo si annulla per $h=0,1,-2 $
*I,II,IV colonna .Il determinante relativo si annulla per $h= 0,1$.
Conclusione :
se $h=0 $ oppure $h= 1$ il rango vale $2$.
se $h ne0, ne1 $ il rango è $3$.
Adesso considera i vari valori critici di $ h $ e per ognuno di essi applica il Teorema di Rouchè-Capelli.......oppure riscrivi il sistema ad esempio per $h=0 $ viene molto semplice e di soluzione immediata.[ ci sono $00^2$ soluzioni date dal vettore soluzioni $(x,1/2(x-1),-x,t)$ S.E.O.
Tieni presente la considerazione- banale ma utile - che anche il rango della matrice completa non può essere $> 3 $
Va ora cercato per quali valori di $h $ il rango è $3$.Partendo da questa matrice e orlandola (T.di Kronecker ) si ottengono solo 2 minori $3x3 $ .
*I, II,III colonna .Il determinante relativo si annulla per $h=0,1,-2 $
*I,II,IV colonna .Il determinante relativo si annulla per $h= 0,1$.
Conclusione :
se $h=0 $ oppure $h= 1$ il rango vale $2$.
se $h ne0, ne1 $ il rango è $3$.
Adesso considera i vari valori critici di $ h $ e per ognuno di essi applica il Teorema di Rouchè-Capelli.......oppure riscrivi il sistema ad esempio per $h=0 $ viene molto semplice e di soluzione immediata.[ ci sono $00^2$ soluzioni date dal vettore soluzioni $(x,1/2(x-1),-x,t)$ S.E.O.
Tieni presente la considerazione- banale ma utile - che anche il rango della matrice completa non può essere $> 3 $
Grazie mille Camilllo,
quindi ora devo andare a riscrivere il sistema per $h=0$ e vedere cosa succede e poi per $h=1$ e vedere cosa succede giusto?
Io a dire il vero ragionavo così però poi mi è venuto un dubbio: Mi sono detto applicando il teorema di Kronecker ho la certezza, in questo caso, che la matrice ha rango tre per $h!=0,1$ ma lo stesso teorema mi assicura anche che non esiste un altro minore di terzo ordine che si annulla ad esempio per $h=3$ in questo caso la matrice risulterebbe di rango tre per ogni valore di $h$.
Forse sono stato un po' contorto nell'esprimermi, spero comunque di essermi fatto capire...
Grazie mille di nuovo
quindi ora devo andare a riscrivere il sistema per $h=0$ e vedere cosa succede e poi per $h=1$ e vedere cosa succede giusto?
Io a dire il vero ragionavo così però poi mi è venuto un dubbio: Mi sono detto applicando il teorema di Kronecker ho la certezza, in questo caso, che la matrice ha rango tre per $h!=0,1$ ma lo stesso teorema mi assicura anche che non esiste un altro minore di terzo ordine che si annulla ad esempio per $h=3$ in questo caso la matrice risulterebbe di rango tre per ogni valore di $h$.
Forse sono stato un po' contorto nell'esprimermi, spero comunque di essermi fatto capire...
Grazie mille di nuovo
Una volta determinato il rango della matrice dei coefficienti al variare di $h $ ,si applica il Teorema di Rouchè-Capelli che dice che il sistema ha soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coeff e quello della matrice completa sono uguali ; il numero di soluzioni è poi dato da $ oo^(n-r)$ con $n $= numero incognite e $r$ = rango matrice.
Questa è la strada principale ; nel caso specifico $h=0 $ il sistema si riduce a :
$x+z=0 $
$2y+z= -1 $
da cui subito la soluzione : $z=-x; y=1/2(x-1) $
e quindi il vettore delle soluzioni è $( x,1/2(x-1), -x,t )$.
Si hanno quindi $oo^2 $ soluzioni ; parametri liberi :$x,t $.
Naturalemnte alle stesse conclusioni si giunge applicando il T.diR-C. rango matrice coeff = 2; rango matrice completa =2 .
Soluzioni ;$oo^(n-r)=oo^2 $.
Non ho poi capito il tuo ragionamento : se $ h ne0,ne1$ la matrice dei coeff ha rango $3$ , la matrice completa pure $3$ , dunque il sitema ha soluzioni , quante ? $oo^(n-r)=oo^1 $.
Quali sono ?
Considero la matrice $3x3$ data da $((1,h,h),(0,2,0),(h,0,h))$ il cui determinante è $ne0 $ se $h ne0,1$ che "corrisponde" a questo sistema :
$x+hy+ht =-z $
$ 2y =-(h+1)z+(h-1) $
$hx +ht = h $
La risolvo con Cramer : 3 equaz , 3 incognite .
Questa è la strada principale ; nel caso specifico $h=0 $ il sistema si riduce a :
$x+z=0 $
$2y+z= -1 $
da cui subito la soluzione : $z=-x; y=1/2(x-1) $
e quindi il vettore delle soluzioni è $( x,1/2(x-1), -x,t )$.
Si hanno quindi $oo^2 $ soluzioni ; parametri liberi :$x,t $.
Naturalemnte alle stesse conclusioni si giunge applicando il T.diR-C. rango matrice coeff = 2; rango matrice completa =2 .
Soluzioni ;$oo^(n-r)=oo^2 $.
Non ho poi capito il tuo ragionamento : se $ h ne0,ne1$ la matrice dei coeff ha rango $3$ , la matrice completa pure $3$ , dunque il sitema ha soluzioni , quante ? $oo^(n-r)=oo^1 $.
Quali sono ?
Considero la matrice $3x3$ data da $((1,h,h),(0,2,0),(h,0,h))$ il cui determinante è $ne0 $ se $h ne0,1$ che "corrisponde" a questo sistema :
$x+hy+ht =-z $
$ 2y =-(h+1)z+(h-1) $
$hx +ht = h $
La risolvo con Cramer : 3 equaz , 3 incognite .
si si questo è tutto chiaro grazie, io intendevo dire: dopo tutto il ragionamento che abbiamo fatto siamo arrivati alla conclusione che il rango della matrice è tre per $h!=0,1$ ma siamo sicuri che non ci sia un altro minore che si annulli per un altro valore e che quindi ci farebbe dire che la matrice ha rango tre per ogni valore di $h$?
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