Sistema lineare compatibile

[Greatkekko]

Buongiorno a tutti,
sperando di non infrangere la netiquette del forum, vorrei porvi delle domande riguardo un potenziale quesito d'esame:




La mia idea sarebbe: un sistema è detto compatibile quando ammette ALMENO una soluzione,
quindi dovrei trovare i valori di t per cui il sistema abbia almeno una soluzione: mmm... Allora sto sistema è di
tre equazioni in tre incognite (credo che t non sia da considerarsi incognita). Non ho idea di come fare.
Forse (e dico FORSE) bisogna vedere per quali t il determinante si annulla, e quindi il rango diventa < 3, quindi
diventerebbero (al più) due equazioni in tre incognite, quindi con nessuna soluzione...? Quindi la risposta alla domanda
sarebbe "Il sistema è compatibile per i valori di t : det(A) diverso da 0"?

Grazie a chiunque voglia aiutarmi.
Francesco.

[Greatkekko]

Scusate, sono appena venuto a conoscenza del teorema di Rouché-Capelli, il quale afferma che il sistema si dice compatibile quando il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa!

Mi metto all'opera e vi farò sapere!

[Greatkekko]

Allora, il rango della matrice dei coefficienti (quindi quella 3x3) dovrebbe essere tre per t diverso da -1,0,1. Due negli altri casi (a proposito, esiste un modo più veloce per verificare il rango della matrice quando il determinante è nullo, anziché mettere per ogni valore per cui il determinante si annulla, la matrice in scala?).

Invece, il determinante della matrice 4x3 (quindi della matrice completa) non riesco a calcolarlo
Avete qualche suggerimento?

[Greatkekko]

Bene, il det. di matrici mXn non esiste!
Allora dovrò calcolare direttamente il rango.
Vi terrò aggiornati

[Greatkekko]

Ragazzi, come diavolo si fa st'esercizio?

[dav892111]

guarda io l'ho provato a fare e mi viene che il determinante della matrice incompleta è uguale a zero per t=0,-1,1
quindi quando il $ t!=0,1,-1 $ il determinante della matrice completa è uguale al determinante della matrice incompleta,quindi il rango è uguale a 3 e quindi 1 soluzione.
poi devi procedere sostituendo al posto della t 0,1,-1 sia alla matrice completa che incompleta e confronti


scusa ho sbagliato il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta non il determinante

[Greatkekko]

Come mai sostieni che quando t è diversa da 0, -1, 1, l rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta?

Ps: grazie per la risposta!

[dav892111]

per quanto riguarda il rango della matrice incompleta il rango è 3 perchè il determinante è diverso da 0,e quando il determinante è diverso da 0 il rango=n
mentre per la matrice completa il rango per definizione è il massimo numero di righe e colonne linearmente indipendenti,quindi il rango della matrice completa è al massimo 3 perchè le colonne sono 3,visto che il minore di ordine 3,3 è proprio la matrice incompleta che per t diverso da 0,1,-1 ha rango 3,allora anche la matrice completa per t diverso da 0,1,-1 ha rango 3
quindi per t diverso da 0,-1,1 r(A')=r(A)=3=n quindi 1 soluzione
poi devi controllare le soluzioni per t=0,1,-1

[Greatkekko]

Grazie mille, sei stato gentilissimo!

[dav892111]

di niente!