Sistema lineare compatibile

[lepre561]

Ho trovato queste due definizioni di sistema lineare compatibile e non mi sembrano uguali quale delle due è corretta?
1) un sistema si dice compatibile se ammette almeno una soluzione
2) un sistema si dice compatibile se e solo se il vettore numerico dei termini noti dipende linearmente dalle colonne di A.

grazie

[Magma1]

Ciao,

$r(A)=r(A|B)$

a parte ricordarti il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, spero , cosa ti dice questa uguaglianza?

[lepre561]

"Magma":Ciao,

$r(A)=r(A|B)$

a parte ricordarti il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, spero , cosa ti dice questa uguaglianza?

purtroppo solo il teorema di rocuchè-capelli che ancora devo approfondire

[lepre561]

dovrebbe trattarsi se non arro di matrici complete e incomplete associate ai sistemi lineari

[Magma1]

Il rango è equivalente al numero di righe o colonne non nulle[nota]ovviamente dovresti sapere che $r(\text{righe}(A))=r(\text{colonne}(A))$[/nota], per cui, essendo $A$ $nxxm$ e $B$ $mxx1$, allora $A|B$ è $nxx(m+1)$; ossia ha una colonna in più. Quindi, poiché un sistema lineare è compattibile se e solo se

$r(A)=r(A|B)$

cosa comporta questo fatto in relazione alla colonna $B$?

[lepre561]

"Magma":Il rango è equivalente al numero di righe o colonne non nulle[nota]ovviamente dovresti sapere che $r(\text{righe}(A))=r(\text{colonne}(A))$[/nota], per cui, essendo $A$ $nxxm$ e $B$ $mxx1$, allora $A|B$ è $nxx(m+1)$; ossia ha una colonna in più. Quindi, poiché un sistema lineare è compattibile se e solo se

$r(A)=r(A|B)$

cosa comporta questo fatto in relazione alla colonna $B$?

quindi le due definizioni che ho dato io sono sbagliate?

[Magma1]

"lepre561":
quindi le due definizioni che ho dato io sono sbagliate?

No!

Intanto supponiamo che $A$ sia una matrice $nxxn$,

Se $r(A)=r(A|B)$, allora il sistema si dice compatibile

equivalentemente si dice che il sistema ammette almeno una soluzione; in particolare

se $r(A)=r(A|B)=n$, allora il sistema ammette un'unica soluzione,
se $r(A)=r(A|B)

Dire che $r(A)=r(A|B)$ equivale a dire che la colonna dei termini noti $B$ è C.L. delle colonne della matrice $A$.

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