Sistema lineare $A|b$ non riesco a ridurlo a scala..
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio. Devo trovare le soluzioni del sistema, Rouché-Capelli mi dice che c'è una soluzione, ma il sistema non riesco a ridurlo a scala. Aiutatemi per favore.
Risolvere il sistema [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right)[/tex]
ho provato a risolvere così
matrice dei coefficienti $ A=( ( 2 , 1 , -1 ),( 3 , 0 , 1 ),( 4 , -1 , 0 ),( 5 , 1 , 3 ) ) $ è una 4x3
applicando il teorema degli orlati mi è venuto che il rango di A $\rho(A)=3$
matrice completa
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right)[/tex]
anche qui applicando il teorema degli orlati trovo che $\rho(A|b)=3$
dunque ho che il sistema ha una soluzione perchè ho $\infty^(3-3)=\infty^0$
dunque applico Gauss alla matrice completa, per farla diventare a scala, ma arrivo ad un punto in cui mi blocco
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \to r2=r1+r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \to r4=r4-r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
4&-1&0&9\\
0&0&-3&-3
\end{array}\right)\to[/tex]
[tex]\to r3=r3-r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
-1&-2&0&0\\
0&0&-3&-3
\end{array}\right)[/tex]
Ecco in pratica non riesco ad eliminare una riga! Dovrei avere una sola soluzione, e ho 4 equazioni in 3 incognite, dunque si dovrebbe eliminare una riga, ma non riesco.
Che operazione dovrei fare per eliminare l'ultima riga? Oppure una riga sopra, non so..
Risolvere il sistema [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right)[/tex]
ho provato a risolvere così
matrice dei coefficienti $ A=( ( 2 , 1 , -1 ),( 3 , 0 , 1 ),( 4 , -1 , 0 ),( 5 , 1 , 3 ) ) $ è una 4x3
applicando il teorema degli orlati mi è venuto che il rango di A $\rho(A)=3$
matrice completa
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right)[/tex]
anche qui applicando il teorema degli orlati trovo che $\rho(A|b)=3$
dunque ho che il sistema ha una soluzione perchè ho $\infty^(3-3)=\infty^0$
dunque applico Gauss alla matrice completa, per farla diventare a scala, ma arrivo ad un punto in cui mi blocco
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
3&0&1&7\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \to r2=r1+r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \to r4=r4-r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
4&-1&0&9\\
0&0&-3&-3
\end{array}\right)\to[/tex]
[tex]\to r3=r3-r2 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
5&1&0&9\\
-1&-2&0&0\\
0&0&-3&-3
\end{array}\right)[/tex]
Ecco in pratica non riesco ad eliminare una riga! Dovrei avere una sola soluzione, e ho 4 equazioni in 3 incognite, dunque si dovrebbe eliminare una riga, ma non riesco.
Che operazione dovrei fare per eliminare l'ultima riga? Oppure una riga sopra, non so..
Risposte
[ot]Non ho letto tutti i passaggi, ma hai mai studiato come funziona l'algoritmo di Gauss ...? Ho letto solo l'ultima parte del messaggio, ma mi pare che tu proceda un po' ad mutsum. Hai mai dato un'occhiata qui? Il procedimento e' molto (solamente) meccanico, eh. Se non hai capito che usando l'algoritmo potresti anche spegnere il cervello mi sa che dovresti ripensarci ...
Per esempio e' strano che dopo quattro passaggi tu non abbia ancora scritto la prima colonna nella forma
\[\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
e non abbia nessuna intenzione di andare in quella direzione -quando invece dovrebbe essere (`cronologicamente`) la tua prima preoccupazione.
Dato che, a memoria, mi pare non sia il primo post in cui improvvisamente ti blocchi nell'eliminazione di Gauss ('l che e' impossibile!), ti consiglio vivamente di riguardarti la procedura da capo.
[/ot]
Per esempio e' strano che dopo quattro passaggi tu non abbia ancora scritto la prima colonna nella forma
\[\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
e non abbia nessuna intenzione di andare in quella direzione -quando invece dovrebbe essere (`cronologicamente`) la tua prima preoccupazione.
Dato che, a memoria, mi pare non sia il primo post in cui improvvisamente ti blocchi nell'eliminazione di Gauss ('l che e' impossibile!), ti consiglio vivamente di riguardarti la procedura da capo.
[/ot]
l'ho già riguardato 6 volte!..
ma non riesco a far venire fuori dopo anche quei 3 passaggi la scrittura di questo tipo $ ( ( k ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e in più come ho già spiegato una riga, per esempio l'ultima dovrebbe annullarsi!
Tu cosa mi consigli?.. ho chiesto solo un aiuto!
p.s.: so come si applica Gauss!!!
ma non riesco a far venire fuori dopo anche quei 3 passaggi la scrittura di questo tipo $ ( ( k ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
e in più come ho già spiegato una riga, per esempio l'ultima dovrebbe annullarsi!
Tu cosa mi consigli?.. ho chiesto solo un aiuto!
p.s.: so come si applica Gauss!!!
"21zuclo":
ho chiesto solo un aiuto!
Mi scuso se sono risultato antipatico ...
p.s.: so come si applica Gauss!!!
... be', in tal caso dovresti riuscire a ridurre in scala la matrice.
Sei sicuro di non sapere unicamente cosa aspettarti dall'algoritmo di Gauss?
Ad ogni modo: se proprio volessi andare da manuale, dovresti partire moltiplicando la prima riga per \(1/2\). A quel punto ti ritroveresti con
\[\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & -1/2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \\ 4 & -1 & 0 & 9 \\ 5 & 1 & -3 & 6 \end{bmatrix}\]
Al che, ritrovarsi con la prima colonna del tipo coda-di-zeri e' piuttosto facile:
\[\mbox{\(R_2 - 3R_1 \\ R_3 - 4R_1 \\ R_4 - 5R_1\)}\]
Quindi agisci in modo simile sulla sottomatrice \(3 \times 3\) triangolare nello stesso modo, e poi ancora sulla \(2 \times 2\).
Non faccio i conti perche' sono lunghetti e questo e' l'unica eliminazione-di-Gauss che conosca.
Credo tu debba farcela ...altrimenti butta nel cestino le mie due risposte.
ok questo è per la prima colonna! perfect!
ma io vorrei riuscire ad ottenere una riga (che può essere l'ultima) tutta fatta da zeri.. così posso risolvere il sistema a gradini!.. qui ho 4 equazioni in 3 incognite.. significa che una riga dovrebbe andare via!.. come ho fatto in un altro esercizio..se vai a vedere ieri ho scritto un altro esercizio.. però poi ho usato Gauss ed ho eliminato l'ultima riga!..
è questo che vorrei riuscire a fare..
ma io vorrei riuscire ad ottenere una riga (che può essere l'ultima) tutta fatta da zeri.. così posso risolvere il sistema a gradini!.. qui ho 4 equazioni in 3 incognite.. significa che una riga dovrebbe andare via!.. come ho fatto in un altro esercizio..se vai a vedere ieri ho scritto un altro esercizio.. però poi ho usato Gauss ed ho eliminato l'ultima riga!..
è questo che vorrei riuscire a fare..
"21zuclo":
ok questo è per la prima colonna! perfect!
Ok. Va' avanti sulle altre -e ti consiglio di seguire pedestremente i passaggi.
Moltiplicando la riga
\[\begin{pmatrix} 0 & -3/2 & 5/2 & 4 \end{pmatrix}\]
per \(-2/3\) ti riconduci al caso di prima e quindi di nuovo:
\[\mbox{\(R_3 + 3R_2 \\ \ldots{}\)}\]
...etcì.
uff mi toccano le frazioni 
e che palle!..io se posso le evito..così faccio solo operazioni con numeri interi!..tipo se vai a vedere il mio topic di ieri, l'ho ridotta a scala, senza usare le frazioni.. ma le righe erano combinazione lineari delle altre!..
e che palle!..io se posso le evito..così faccio solo operazioni con numeri interi!..tipo se vai a vedere il mio topic di ieri, l'ho ridotta a scala, senza usare le frazioni.. ma le righe erano combinazione lineari delle altre!..
"21zuclo":
io se posso le evito..così faccio solo operazioni con numeri interi!
Bello.
Non so com'era la matrice del famoso altro-post-di-ieri, ma e' chiaro che il fiorire o meno di frazioni dipende dall'entrate della matrice. Usare l'alg. di Gauss su
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\]
ti fa rimanere nel mondo degli interi. Ma faccenda non e' sempre cosi semplice. E anche quando non lo e' mi pare rimanga piuttosto banale.
Armati di foglietti di brutta e va'.
Buono studio
facendo i passaggi che mi hai detto, non elimino una riga!..non mi viene una riga di tutti zeri
mi viene
[tex]\( A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\3&0&1&7\\4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \)\to 1/2 r1; r2=r2-3r1; r3=r3=4r1; r4=r4-5r1 \( \left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&-3/2&5/2&4\\
0&-3&2&5\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \) \to[/tex]
[tex]\to -\frac{2}{3} r2 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&-3&2&5\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \)\to r3=r3+3r2 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&0&-3&-3\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \)\to[/tex]
[tex]\to 2r4; -\frac{1}{3} r3 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&0&1&1\\
0&-3&-1&2
\end{array}\right) \)\to 3r2;2r1 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
0&3&-5&-8\\
0&0&1&1\\
0&-3&-1&2
\end{array}\right) \)[/tex]
nn vedo eliminarsi una riga
mi viene
[tex]\( A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\3&0&1&7\\4&-1&0&9\\
5&1&-3&6
\end{array}\right) \)\to 1/2 r1; r2=r2-3r1; r3=r3=4r1; r4=r4-5r1 \( \left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&-3/2&5/2&4\\
0&-3&2&5\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \) \to[/tex]
[tex]\to -\frac{2}{3} r2 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&-3&2&5\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \)\to r3=r3+3r2 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&0&-3&-3\\
0&-3/2&-1/2&1
\end{array}\right) \)\to[/tex]
[tex]\to 2r4; -\frac{1}{3} r3 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1/2&-1/2&1\\
0&1&-5/3&-8/3\\
0&0&1&1\\
0&-3&-1&2
\end{array}\right) \)\to 3r2;2r1 \(\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&2\\
0&3&-5&-8\\
0&0&1&1\\
0&-3&-1&2
\end{array}\right) \)[/tex]
nn vedo eliminarsi una riga
"21zuclo":
nn vedo eliminarsi una riga
.. a parte che hai seguito i passaggi fino ad un certo punto in poi. Comunque te la puoi cavare l stesso dal punto in cui sei: puoi ridurre in scala la matrice.
Quarta meno seconda; ora nuova-quarta più 6 volte la terza, mi pare.
...hai un parametro libero, come ti suggeriva R.Capelli -infinite soluzioni con un grado di libertà.
Ma un testo di algebra lineare ...?
poi alla fine rifacendo tutto per la decima volta..le soluzioni le ho fatte saltare fuori! XD
Comunque questo sistema è determinato le soluzioni sono ${(x=2),(y=-1),(z=1):}$
va bé ce l'ho fatta.. Questo sistema non ha parametri liberi, ma è proprio determinato.
Mi viene $\rho(A)=\rho(A|b)=3$ e la matrice incompleta (dei coefficienti) è 4x3
avrei $\infty^0$ soluzioni, cioè vi è una soluzione.
Che faticosamente l'ho trovata XD
Ci sono riuscito, rifacendo i calcoli e tutto quanto!
Comunque questo sistema è determinato le soluzioni sono ${(x=2),(y=-1),(z=1):}$
va bé ce l'ho fatta.. Questo sistema non ha parametri liberi, ma è proprio determinato.
Mi viene $\rho(A)=\rho(A|b)=3$ e la matrice incompleta (dei coefficienti) è 4x3
avrei $\infty^0$ soluzioni, cioè vi è una soluzione.
Che faticosamente l'ho trovata XD
Ci sono riuscito, rifacendo i calcoli e tutto quanto!
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