Sistema lineare a due parametri
Salve, sto cercando di preparare l'esame di geometria e mi sono trovata completamente spiazzata di fronte a questo sistema lineare. L'esercizio chiede di stabilire se il sistema è compatibile o no, al variare dei parametri $ h $ e $ k in R $ :
$\{(hx + hy + hz + hw = k),(kx + ky + kz + kw = h + 1):}$
Avrei bisogno di una linea guida per come procedere, in modo che se mi troverò nuovamente di fronte ad un esercizio simile riuscirò a risolverlo.
Grazie.
$\{(hx + hy + hz + hw = k),(kx + ky + kz + kw = h + 1):}$
Avrei bisogno di una linea guida per come procedere, in modo che se mi troverò nuovamente di fronte ad un esercizio simile riuscirò a risolverlo.
Grazie.
Risposte
Mai sentito parlare del teorema di Rouchè-Capelli!?
Si so cos'è il teorema di Rouché- Capelli ma non riesco ad applicarlo all'esercizio.
in che senso?
Secondo il teorema di Rouché- Capelli il sistema è compatibile solo se il rg A = rg A' in cui A' è la matrice completa.
Perciò ho scritto il sistema sotto forma di matrice:
A= $((h,h,h,h),(k,k,k,k))$
A'= $((h,h,h,h,k),(k,k,k,k, h+1))$
A questo punto dovrei ridurre la matrice completa a scala (o almeno questo è quello che pensavo di fare arrivata a questo punto) ma non so come fare...
Perciò ho scritto il sistema sotto forma di matrice:
A= $((h,h,h,h),(k,k,k,k))$
A'= $((h,h,h,h,k),(k,k,k,k, h+1))$
A questo punto dovrei ridurre la matrice completa a scala (o almeno questo è quello che pensavo di fare arrivata a questo punto) ma non so come fare...
Non sei obbligata a ridurla a scala...
Calcola direttamente il rango di A e quello di A', puoi benissimo usare Laplace
Calcola direttamente il rango di A e quello di A', puoi benissimo usare Laplace
Ma Laplace non si può usare solo nelle matrici quadrate?
Scusa ma non ti seguo.
Scusa ma non ti seguo.
Tu vuoi determinare il rango di una matrice. Bene per definizione il rango è il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti. Nel tuo caso se prendi la matrice A il rango sarà al massimo due, ti trovi!? Prendi una sottomatrice di ordine due , fanne il determinante e troverai il rango.
Penso di seguirti.
Io quindi, come mi hai suggerito tu, prendo la sottomatrice:
$((h,h),(k,k))$
A questo punto studio il rango che può essere 0, 1 o 2.
Sarà 0 se e solo se tutti gli elementi della matrice sono nulli cioè se h=k=0.
Nel caso in cui gli elementi non siano nulli bisogna vedere se le colonne sono proporzionali tra loro cioè $((h),(k))$ = $\lambda$ $((h),(k))$ poichè qualsiasi valore assumono h e k (diverso da zero) le colonne sono proporzionali, il rango è 1.
(oppure con il determinante, se il determinante è $!=$ 0 allora il rango è 2, ma poiche detA=hk-hk=0, allora il rango è 1)
Ed è la stessa cosa per A' ??
Cioé per la matrice A' avviene la stessa cosa, quindi il rgA=rgA', perciò il sistema è compatibile.
E' giusto??
Io quindi, come mi hai suggerito tu, prendo la sottomatrice:
$((h,h),(k,k))$
A questo punto studio il rango che può essere 0, 1 o 2.
Sarà 0 se e solo se tutti gli elementi della matrice sono nulli cioè se h=k=0.
Nel caso in cui gli elementi non siano nulli bisogna vedere se le colonne sono proporzionali tra loro cioè $((h),(k))$ = $\lambda$ $((h),(k))$ poichè qualsiasi valore assumono h e k (diverso da zero) le colonne sono proporzionali, il rango è 1.
(oppure con il determinante, se il determinante è $!=$ 0 allora il rango è 2, ma poiche detA=hk-hk=0, allora il rango è 1)
Ed è la stessa cosa per A' ??
Cioé per la matrice A' avviene la stessa cosa, quindi il rgA=rgA', perciò il sistema è compatibile.
E' giusto??
per la matrice A' è la stessa cosa, solo che ti conviene considerare la sottomatrice che ha la colonna dei termini noti
Se prendo la sottomatrice coi termini noti mi viene na cosa del genere:
A'= $((h,k),(k,h+1))$
il detA'= h$^2$+h -k$^2$
A questo punto devo studiare h e k?
Se h=0 o h=-1 e k=0 il detA'=0 e il rgA'=1, il sistema sarà quindi compatibile perchè rgA=rgA'.
Se h$!=$0 e h$!=$1 e k$!=$0 il detA'$!=$0 e il rgA'=2, il sistema non sarà compatibile poichè rgA$!=$rgA'.
E' così?
A'= $((h,k),(k,h+1))$
il detA'= h$^2$+h -k$^2$
A questo punto devo studiare h e k?
Se h=0 o h=-1 e k=0 il detA'=0 e il rgA'=1, il sistema sarà quindi compatibile perchè rgA=rgA'.
Se h$!=$0 e h$!=$1 e k$!=$0 il detA'$!=$0 e il rgA'=2, il sistema non sarà compatibile poichè rgA$!=$rgA'.
E' così?
Si il ragionamento è questo.
Grazie mille per l'aiuto 
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