Sistema lineare
Ciao a tutti! Ho questo sistema lineare e sono un po' confuso
\(\displaystyle x + y + z = \alpha \)
\(\displaystyle \alpha x + y + 2z = 1 \)
\(\displaystyle x + \alpha y + 3z = 1 \)
Ho ridotto la matrice è ho calcolato il determinante della matrice non completa : \(\displaystyle (-\alpha+4)(\alpha-1) \)
Posso dire che la matrice non completa non ha rango massimo se alpha è uguale a 4 o a 1.
Ora, come confronto questi due valori con la matrice completa per poter discutere l'esistenza di soluzioni?
Grazie Mille
\(\displaystyle x + y + z = \alpha \)
\(\displaystyle \alpha x + y + 2z = 1 \)
\(\displaystyle x + \alpha y + 3z = 1 \)
Ho ridotto la matrice è ho calcolato il determinante della matrice non completa : \(\displaystyle (-\alpha+4)(\alpha-1) \)
Posso dire che la matrice non completa non ha rango massimo se alpha è uguale a 4 o a 1.
Ora, come confronto questi due valori con la matrice completa per poter discutere l'esistenza di soluzioni?
Grazie Mille
Risposte
per la prima domanda penso che sia giusto.
la matrice incompleta è
$A=((1,1,1),(a,1,2),(1,a,3))$
essa ha rango massimo se tutte le righe della matrice (o colonne) sono linearmente indipendenti.
In questo caso $rg_max=3$
ciò avviene per i valori di $a$ per i quali $detA!=0$ (comunque penso che dovresti specificare in quale campo prendi $a$.. sottointendo che sia $RR$)
abbiamo che
$detA=1*det((1,2),(a,3))-det((a,2),(1,3))+det((a,1),(1,a))=$
$=3-2a-(3a-2)+a^2-1=3-2a-3a+2+a^2-1=a^2-5a+4$
$detA=0<=> a^2-5a+4=0 => a=4 vv a =1$
per si fatti valori $rgA$ non è massimo.
la matrice incompleta è
$A=((1,1,1),(a,1,2),(1,a,3))$
essa ha rango massimo se tutte le righe della matrice (o colonne) sono linearmente indipendenti.
In questo caso $rg_max=3$
ciò avviene per i valori di $a$ per i quali $detA!=0$ (comunque penso che dovresti specificare in quale campo prendi $a$.. sottointendo che sia $RR$)
abbiamo che
$detA=1*det((1,2),(a,3))-det((a,2),(1,3))+det((a,1),(1,a))=$
$=3-2a-(3a-2)+a^2-1=3-2a-3a+2+a^2-1=a^2-5a+4$
$detA=0<=> a^2-5a+4=0 => a=4 vv a =1$
per si fatti valori $rgA$ non è massimo.
Grazie mille della risposta, un ultima cosa :
Ora devo vedere se nella matrice completa (sostituendo i valori 4 prima e 1 poi) ottengo un rango uguale a quello della rispettiva matrice incompleta giusto? così da capire se ha infinite soluzioni
Ora devo vedere se nella matrice completa (sostituendo i valori 4 prima e 1 poi) ottengo un rango uguale a quello della rispettiva matrice incompleta giusto? così da capire se ha infinite soluzioni
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