Sistema lineare
Ciao, sto discutendo la risolvibilità di un sistema lineare al variare di un parametro reale.Per un valore del parametro ho questo sistema$\{(x+2y=2),(2x+4y=4):}$.Il sistema ammette $infty^1$soluzioni.Dunque risolvendo il sistema applicando alla sua matrice completa la procedura di riduzione gaussiana mi ritrovo con $\{(x=2-2t),(y=t):}$.La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema è uguale ad 1.Una sua generica base è quindi $(-2,1)$.Però in realtà lo spazio è generato da $(2,0)+t(-2,1)$.Nonstante ciò è corretto dire che una base dello spazio è formata dal solo vettore$(-2,1)$?
Da un punto di vista geometrico lo spazio delle soluzioni è una retta in $R^2$ definita dall'equazione parametrica vettoriale scritta sopra, la cui direzione è data dal vettore $(-2,1)$ e che passa per il punto $(2,0)$.Non è un sottospazio perché la retta non passa per l'origine.Giusto?Grazie.
Da un punto di vista geometrico lo spazio delle soluzioni è una retta in $R^2$ definita dall'equazione parametrica vettoriale scritta sopra, la cui direzione è data dal vettore $(-2,1)$ e che passa per il punto $(2,0)$.Non è un sottospazio perché la retta non passa per l'origine.Giusto?Grazie.
Risposte
Il sistema in questione è non omogeneo, quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo
dove $S_o={((-2),(1))}$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeno associato , $S_p=((2),(0))$ è la soluzione particolare del sistema lineare non omogeneo.
P.S. non capisco la necessità della variabile $t$
$S=S_o +S_p$
dove $S_o={((-2),(1))}$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeno associato , $S_p=((2),(0))$ è la soluzione particolare del sistema lineare non omogeneo.
P.S. non capisco la necessità della variabile $t$
Grazie per essere intervenuto.A lezione ci hanno imparato a risolverli così.Quindi il vettore $(-2,1)$ mi costituisce un base dello spazio delle soluzioni?
"JackPirri":
A lezione ci hanno imparato a risolverli così.
Effettivamente è una cosa che si usa, cambiare nome alle variabili quando diventano parametri liberi. (Vuoi dire che vi hanno "insegnato" a risolverli così, vero?)
"dissonance":
[quote="JackPirri"]A lezione ci hanno imparato a risolverli così.
(Vuoi dire che vi hanno "insegnato" a risolverli così, vero?)[/quote]
Si,pardon
"dissonance":
Effettivamente è una cosa che si usa, cambiare nome alle variabili quando diventano parametri liberi.
Non è sufficiente porre $AA y in RR$ ?
A me sembra molto libera 
Tra l'altro $y=t hArr t=y$
@Magma: ma no, sono solo convenzioni didattiche, non ci vedo niente di così scandaloso. Chi fa così ha in mente le equazioni parametriche di rette e curve, dove i parametri di solito si chiamano \(t, s, \ldots\), per esempio
\[\tag{1}
x=\cos t, \quad y=\sin t.\]
Quando risolvi un sistema lineare, stai passando da una equazione cartesiana ad una equazione parametrica, esattamente come passare da \(x^2+y^2=1\) a (1). Ecco perché si introduce il parametro \(t\).
@JackPirri: É corretto, solo che (come hai notato) lo spazio delle soluzioni non è un sottospazio vettoriale, quindi non dire "una base dello spazio delle soluzioni".
\[\tag{1}
x=\cos t, \quad y=\sin t.\]
Quando risolvi un sistema lineare, stai passando da una equazione cartesiana ad una equazione parametrica, esattamente come passare da \(x^2+y^2=1\) a (1). Ecco perché si introduce il parametro \(t\).
@JackPirri: É corretto, solo che (come hai notato) lo spazio delle soluzioni non è un sottospazio vettoriale, quindi non dire "una base dello spazio delle soluzioni".
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