Sistema lineare

[Mammamia3]

Determinare al variare di k (appartenente a R) le soluzioni del sistema
x+y+z+t=k
x+2y+3z+4t=5
4x+3y+2z+t=5
3x+4y+5z+6t=9
x-3y-z-5t=-4

Una cosa è determinare il rango di una 4x5 un'altra cosa è determinare il rango di una 5x5, senza usare la riduzione a scala a occhio si può capire qualcosa?
La soluzione è per nessun valore di k??????

[apatriarca]

Inizia a scrivere la matrice corrispondente, così è illeggibile..
\[
\left(
\begin{array}{rrrr|r}
1 & 1 & 1 & 1 & k \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
1 & -3 & -1 & -5 & -4 \\
\end{array}
\right)
\]
Direi che conviene ridurla. Un po' di esercizio non fa male..

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un sistema di n+1 equazioni ed n incognite, con n=4. Com'è noto dalla teoria, la compatibilità è assicurata se il determinante della matrice completa B ( quella già indicata da apatriarca) è nullo. Si deve quindi calcolare $det(B)$ ed eguagliarlo a zero per trovare il k corrispondente. Questo si può fare a mano ( mi vengono i brividi ! ), facendo uso di qualche software dedicato oppure cercando qualche scorciatoia ( se ne esistono). Nel nostro caso, se ho visto bene, la scorciatoia c'è. Osserviamo infatti che, a partire dalla seconda equazione del sistema, la somma dei coefficienti delle incognite x e t è uguale alla somma dei coefficienti della incognite rimanenti y e z. E tale somma è a sua volta uguale al termine noto della corrispondente equazione.
Per la compatibilità, tale condizione si deve verificare anche per la prima equazione . Da qui ne viene che:
$k=2$
Concludendo si ha che :
A) $k\ne2$ , il sistema non ha soluzioni
B) $k=2$, il sistema ha soluzioni.