Sistema in due parametri

[Coraz1]

Colgo l'occasione del post precedente per chiedere chiarimenti anche sul seguente es

Discutere e risolvere al variare di a,b in R il seguente sistema (di tre eq in tre incognite, con annessi i due parametri):

ax + y + z = 1
x + ay + z = b
x + y + az = b^2

Ecco, il mio dubbio è: procedo come se avessi a che fare con un sistema di un solo parametro (guardando la caratteristica dlla matrice incompleta e di quella completa, se posso tenere in considerazione gli orlati e il rispettivo determinante, ecc... insomma la procedura consueta per quei casi) o devo avere alcune accortezze extra nella risoluzione?
Vi sarei immensamente grato se poteste spiegarmi come agire.

Grazie mille in anticipo

[f.serafini93]

In poche parole procedi come sempre per lo studio dei sistemi lineari con un solo parametro.
Il sistema da te scritto è:
\begin{matrix}
ax& +&y &+& z&=1 \\
x &+&ay &+&z &=b \\
x&+&y&+&az & =b^2
\end{matrix}
Procedi al calcolo del determinante del sistema, cioè calcoli il determinante dell'incompleta e vedi quando è uguale a zero
$Det(A)=a(a^2-1)-1(a-1)+1(1-a)$
Che risolvendolo trovi che il determinante sarà uguale zero per $a=1,a=-2$ e in corrispondenza di questi valori troverai che il sistema ha una e una sola soluzione.
Ora bisogna studiare i singoli casi.
1)$a=1$
\begin{pmatrix}
1 & 1 &1 & 1\\
1 & 1 & 1 & b\\
1 & 1 & 1 & b^2
\end{pmatrix}
In questo caso basta notare che il rango della matrice incompleta è $=1$ quindi affinchè il sistema abbia infinite soluzioni il rango dell'incompleta deve essere uguale a quello della completa, questo si verifica solo nel caso in cui $b=1$ mentre per $b\ne0$ il sistema non h soluzione.
2)$a=-2$
\begin{pmatrix}
-2 & 1 &1 & 1\\
1 & -2 & 1 & b\\
1 & 1 & -2 & b^2
\end{pmatrix}
Il rango della matrice incompleta è 2 e non esistono valori di b per cui il rango della matrice completa è uguale a quello della incompleta, quindi non ha soluzione.
In definitiva:
$a\ne-2,1 ,\forall b \in \mathbb{R}$ il sistema ha una e una sola soluzione
$a=1, a\ne-2, b=1$ il sistema ha $\infty ^1$ soluzioni
$a=-2, \forall b$ il sistema non ammette soluzioni
Basta semplicemente fare le opportune considerazioni per quanto riguarda il parametro $b$
Ti invito a ricontrollare i calcoli per sicurezza.
Spero di averti aiutato, ciaooo

[Coraz1]

Grazie infinitamente, mi ero bloccato nella discussione quando a = -2 perchè non sapevo come comportarmi con il parametro b. Invece era più semplice di quanto pensassi.
Grazie ancora