Sistema generatori sottospazio vettoriale

[85federico85]

Salve a tutti gli utenti, sono nuovo del forum

dato questo sottospazio V={ (a,b,c,d) ∈R^4 | a+b+c+d=0} e dati i seguenti vettori appartenenti a V=

A1=(1,1,0,2)
A2=(0,1,1,-2)
A3=(2,3,1,-6)
A4=(3,7,4,-14)

il sistema H formato da questi 4 vettori è generatore di U?

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ho provato a risolvere il problema impostando un vettore generico di v come combinazioni lineare del sistema H.
ma non sono riuscito a risolverlo

(k1,k2,k3,k4)=x1 * A1 + x2 * A2 + x3 * A3 + x4 * A4

Cmq questo modo risolvere il problema è giusto?
Oppure c'è qualche altro metodo (+ veloce) per risolvere il problema?

[franced]

"85federico85":
dato questo sottospazio V={ (a,b,c,d) ∈R^4 | a+b+c+d=0} e dati i seguenti vettori appartenenti a V=

A1=(1,1,0,2)
A2=(0,1,1,-2)
A3=(2,3,1,-6)
A4=(3,7,4,-14)

il sistema H formato da questi 4 vettori è generatore di U?

Il primo vettore è errato, forse c'è -2 all'ultima coordinata.

[franced]

"franced":[quote="85federico85"]
dato questo sottospazio V={ (a,b,c,d) ∈R^4 | a+b+c+d=0} e dati i seguenti vettori appartenenti a V=

A1=(1,1,0,2)
A2=(0,1,1,-2)
A3=(2,3,1,-6)
A4=(3,7,4,-14)

il sistema H formato da questi 4 vettori è generatore di U?

Il primo vettore è errato, forse c'è -2 all'ultima coordinata.[/quote]

Faccio finta che ci sia -2.
Il sottospazio V ha dimensione pari a 3 (infatti V sta in uno spazio con dimensione 4 ed è definito
da una sola equazione cartesiana);
a questo punto, per rispondere alla domanda, è sufficiente vedere se è possibile estrarre
tre vettori linearmente indipendenti dall'insieme dei 4 vettori A1, A2, A3, A4.

Si vede "a occhio" che A3 è combinazione lineare di A1 e A2:

$((2),(3),(1),(-6)) = 2 ((1),(1),(0),(-2)) + ((0),(1),(1),(-2))$ .


Per quanto riguarda il vettore A4, si osserva che

$((3),(7),(4),(-14)) = 3 ((1),(1),(0),(-2)) + 4 ((0),(1),(1),(-2))$ .

In definitiva possiamo affermare che V non è generato dai 4 vettori indicati.

[85federico85]

Si, scusami, ho postato velocemente e non ho fatto attenzione all'ultima coordinata del primo vettore. Cmq grazie mille della risposta .

[franced]

"85federico85":Si, scusami, ho postato velocemente e non ho fatto attenzione all'ultima coordinata del primo vettore. Cmq grazie mille della risposta .

Prego!