Sistema dipendente

[lepre561]

Il mio prof chiede la dimostrazione di questo teorema.
Un sistema $S$ e dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai rimanenti.

provo a fare una dimostrazione vorrei sapere se è corretta.

Supponiamo esistano $alpha_i$ non tutti nulli tali che $0=alpha_1v_1+alpha_2v_2+...+alpha_sv_s$
Porto un vettore a sinistra e ottengo:
$-alpha_1v_1=alpha_2v_2+alpha_3v_3+...+alpha_sv_s$

Divido tutto per $-alpha_1$ e ottengo:

$v_1=-alpha_2/alpha_1 v_2- alpha_3/alpha_1v_3+...-alpha_s/alpha_1 v_s$

il che è uguale a :

$v_1=beta_2v_2+beta_3v_3+...+beta_sv_s$

Essendo $v!=0$ otteniamo:

$0=-v_1+beta_2v_2+...+beta_sv_s$

Otteniamo dunque un sistema dipendente

[lepre561]

nessuno???

[Cantor99]

Corretta, io la scriverei equivalemente così, poi non so quale sia la migliore

Posto $S={v_1,...,v_s}$, se $S$ è linearmente indipendente allora esistono $s$ scalari non tutti nullo tali che $0=a_1v_1+...+a_sv_s$
Supponiamo $a_i!=0$ allora si ha (come hai fatto tu)
$v_i=\frac{a_1}{a_i}v_1-...-\frac{a_(i-1)}{a_i}v_(i-1)-\frac{a_(i+1)}{a_(i)}v_(i+1)-...-\frac{a_s}{a_i}v_s$

Sia inversamente $v_i=\frac{a_1}{a_i}v_1-...-\frac{a_(i-1)}{a_i}v_(i-1)-\frac{a_(i+1)}{a_(i)}v_(i+1)-...-\frac{a_s}{a_i}v_s$
allora ne discende banalmente $0=a_1v_1+...+a_iv_i+...+a_sv_s$ con $a_i!=0$