Sistema di vettori sottospazi
Salve il problema in questione è questio:
dato il sistema di vettori
S = [(-1, 0, 1, -2), (-1, 1, 2, 3), (-2, 2, 4, -5) , (1, 1, 0, 1)]
1. Estrarre una parte $S^*$ linearmente indipendente massimale.
2. Che dimensione ha L( $S^*$ ) ?
3. Determinare un sottospazio che sia supplemetnare di L( $S^*$ ).
Aiutatemi a cpirlo...datemi qlk dritta nn so... grazie è molto importante!
dato il sistema di vettori
S = [(-1, 0, 1, -2), (-1, 1, 2, 3), (-2, 2, 4, -5) , (1, 1, 0, 1)]
1. Estrarre una parte $S^*$ linearmente indipendente massimale.
2. Che dimensione ha L( $S^*$ ) ?
3. Determinare un sottospazio che sia supplemetnare di L( $S^*$ ).
Aiutatemi a cpirlo...datemi qlk dritta nn so... grazie è molto importante!
Risposte
linearmente indipendente massimale equivale a dire una base?
e nn so sinceramente... non so come interpretarlo il testo...porebbe essere.... voi che dite?
io credo proprio di sì... credo significhi il massimo numero di vettori linearmente indipendenti, ergo una base!
Sai estrarre quindi una base da quei vettori?
Sai estrarre quindi una base da quei vettori?
beh credo di si... la base si...
ma per quant riguarda il punto 2 se nn ho capito male devo mettere i vettori in una matrice...ridurla a scalini e poi il rango di qst matrice sarà la dimensione di L(S) ??
vero??
se è così mi manca il punto 3.
Ecco il punto 3 non so prorpio da dove partire credetemi..
attendo vostre notizie quindi
ma per quant riguarda il punto 2 se nn ho capito male devo mettere i vettori in una matrice...ridurla a scalini e poi il rango di qst matrice sarà la dimensione di L(S) ??
vero??
se è così mi manca il punto 3.
Ecco il punto 3 non so prorpio da dove partire credetemi..
attendo vostre notizie quindi
Beh per definizione la dimensione di uno spazio vettoriale è "il numero dei vettori di una base"... quindi se hai una base, sai automatica qual è la dimensione.
Quanto al punto 3): sai che $S$ è un sottospazio di $RR^4$. I casi son due o $S=RR^4$ ed in questo caso il supplementare è uno spazio di dimensione $0$, oppure $s=dimS<4$. In questo caso ti basterà considerare una base di $RR^4$, ad esempio la base canonica, e completare la base di $s$ alla base di $RR^4$. Il supplementare sarà lo spazio generato dai vettori diversi da quelli di $S$, e per costruzione avrà dimensione $4-s$
Quanto al punto 3): sai che $S$ è un sottospazio di $RR^4$. I casi son due o $S=RR^4$ ed in questo caso il supplementare è uno spazio di dimensione $0$, oppure $s=dimS<4$. In questo caso ti basterà considerare una base di $RR^4$, ad esempio la base canonica, e completare la base di $s$ alla base di $RR^4$. Il supplementare sarà lo spazio generato dai vettori diversi da quelli di $S$, e per costruzione avrà dimensione $4-s$
scusami ma nn ho ben capito ...potresti rispiegarmi di nuovo....ti ringrazio..
ho capito fino a qundo hai detto che ci possono essere due casi...poi dopo nn ho capito tatno bene..
grazie 1000
ho capito fino a qundo hai detto che ci possono essere due casi...poi dopo nn ho capito tatno bene..
grazie 1000
Esiste un teorema molto importante di completamento ad una base che ti invito a rivedere nel caso non lo conoscessi.
Sia $s$ la dimensione di $S$. Poichè $S$ è sottospazio di $RR^4$, $s$ sarà al più $4$. Pertanto il suo supplementare (che sai cos'è vero?!), non può che essere ${0_v}$... ed è un caso banale.
Supponiamo invece che $s<4$. In questo caso, per il teorema cui sopra, possiamo completare l'insieme degli $s$ vettori di $S$ ad una base di $RR^4$. Otterremo una nuova base di $RR^4$ che sarà ovviamente composta da $4$ vettori. Da questi $4$ vettori "elimini" quelli che sono una base di $S$ e i rimanenti generano proprio lo spazio che stai cercando!
Ti consiglio comunque di riguardare i teoremi che ho sfruttato cioè quello di completamento ad una base e quello di esistenza del supplementare.
Sia $s$ la dimensione di $S$. Poichè $S$ è sottospazio di $RR^4$, $s$ sarà al più $4$. Pertanto il suo supplementare (che sai cos'è vero?!), non può che essere ${0_v}$... ed è un caso banale.
Supponiamo invece che $s<4$. In questo caso, per il teorema cui sopra, possiamo completare l'insieme degli $s$ vettori di $S$ ad una base di $RR^4$. Otterremo una nuova base di $RR^4$ che sarà ovviamente composta da $4$ vettori. Da questi $4$ vettori "elimini" quelli che sono una base di $S$ e i rimanenti generano proprio lo spazio che stai cercando!
Ti consiglio comunque di riguardare i teoremi che ho sfruttato cioè quello di completamento ad una base e quello di esistenza del supplementare.
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