Sistema di vettori linearmente indipendenti
È possibile estrarre da un sistema di vettori linearmente indipendenti, un sistema di vettori linearmente dipendenti?
Risposte
Ciao.
Se per "sistema di vettori" intendi un insieme avente come elementi quei vettori, allora la risposta è negativa.
Avendo dei vettori linearmente indipendenti, prendendo a caso alcuni di essi (evitando, ovviamente, estrazioni ripetute di uno stesso vettore tra quelli dati), si otterranno nuovamente vettori linearmente indipendenti.
Infatti: supponendo per assurdo che, da un insieme di vettori $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ linearmente indipendenti si possano estrarre, tra questi, alcuni vettori $vec w_1, vec w_2, ....., vec w_m$ (con $m
$sum_{i=1}^m a_i*vec w_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli.
Estendendo la sommatoria su tutti gli $n$ termini della combinazione lineare e attribuendo valore nullo agli scalari associabili ai vettori $vec v_i$ non presenti tra i vettori $vec w_i$, avremmo
$sum_{i=1}^n a_i*vec v_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli
che contraddirrebbe l'ipotesi che $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ siano linearmente indipendenti.
Saluti.
Se per "sistema di vettori" intendi un insieme avente come elementi quei vettori, allora la risposta è negativa.
Avendo dei vettori linearmente indipendenti, prendendo a caso alcuni di essi (evitando, ovviamente, estrazioni ripetute di uno stesso vettore tra quelli dati), si otterranno nuovamente vettori linearmente indipendenti.
Infatti: supponendo per assurdo che, da un insieme di vettori $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ linearmente indipendenti si possano estrarre, tra questi, alcuni vettori $vec w_1, vec w_2, ....., vec w_m$ (con $m
$sum_{i=1}^m a_i*vec w_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli.
Estendendo la sommatoria su tutti gli $n$ termini della combinazione lineare e attribuendo valore nullo agli scalari associabili ai vettori $vec v_i$ non presenti tra i vettori $vec w_i$, avremmo
$sum_{i=1}^n a_i*vec v_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli
che contraddirrebbe l'ipotesi che $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ siano linearmente indipendenti.
Saluti.
"mmattiak":
È possibile estrarre da un sistema di vettori linearmente indipendenti, un sistema di vettori linearmente dipendenti?
non penso, anche perchè se non erro e sempre valida la seguente
:- [*:27abxrr2]sia nello spazio vettoriale \(V \supseteq \{v_i\}_{i=1}^n\) un sistema di vettori libero sul campo \(\Bbb{K}\) allora$$ \{v_k\}_{k=1}^i \mbox{ è libero sul campo } \Bbb{K}, \; \forall i \in \{1,2,...,n\}$$[/*:m:27abxrr2][/list:u:27abxrr2] pensaci un po sopra (e prova a dimostrare anche)
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