Sistema di vettori
Ciao ragazzi mi aiutereste con questo esercizio?
Si consideri il sistema di vettori $S_{k}$ = [(-2;-1; 2; 3) ; (1; 1; 0; 2) ; (-3;-2; 2; k - 1)] in $RR^4$, al variare
del parametro k $in$ $RR$.
i) Per quali valori di k il vettore w = (-1; 0; 2; 5) dipende da $S_{k}$?
ii) Se possibile esprimere w come combinazione dei vettori di $S_{0}$.
Per il primo punto devo inserire nella matrice associata il vettore w, calcolare k, sostituire il valore trovato e vedere tramite l'algoritmo di gauss jordan se w dipende dalla matrice?
Il secondo punto non so proprio come farlo
Si consideri il sistema di vettori $S_{k}$ = [(-2;-1; 2; 3) ; (1; 1; 0; 2) ; (-3;-2; 2; k - 1)] in $RR^4$, al variare
del parametro k $in$ $RR$.
i) Per quali valori di k il vettore w = (-1; 0; 2; 5) dipende da $S_{k}$?
ii) Se possibile esprimere w come combinazione dei vettori di $S_{0}$.
Per il primo punto devo inserire nella matrice associata il vettore w, calcolare k, sostituire il valore trovato e vedere tramite l'algoritmo di gauss jordan se w dipende dalla matrice?
Il secondo punto non so proprio come farlo
Risposte
Punto 1: non ho ben capito il tuo procedimento. In ogni caso discuti quando il seguente sistema ha soluzione:
$A_k x= w$ dove $A_k$ è la matrice avente per colonne i vettori di $S_k$.
Punto 2: risolvi il sistema $A_0 x = w$ con $A_0$ come al punto 1.
Paola
$A_k x= w$ dove $A_k$ è la matrice avente per colonne i vettori di $S_k$.
Punto 2: risolvi il sistema $A_0 x = w$ con $A_0$ come al punto 1.
Paola
Grazie per la risposta tempestiva anche se non ho capito cosa intendi per Akx=w.
Con $x$ indicavo un vettore generico (incognito) di $\mathbb{R}^4$. Possiamo ad esempio scriverlo $(x_1,x_2,x_3,x_4)$.
Il vettore $w$ è noto e fa la parte del vettore dei termini noti. Discutere l'esistenza della soluzione di quel sistema è uguale a discutere l'esistenza di una combinazione lineare dei vettori di $S_k$ che restituisce $w$, dove i coefficienti della combinazione (incogniti) sono rappresentati dal vettore $x$. Spero sia più chiaro ora.
Paola
Il vettore $w$ è noto e fa la parte del vettore dei termini noti. Discutere l'esistenza della soluzione di quel sistema è uguale a discutere l'esistenza di una combinazione lineare dei vettori di $S_k$ che restituisce $w$, dove i coefficienti della combinazione (incogniti) sono rappresentati dal vettore $x$. Spero sia più chiaro ora.
Paola
Sei gentilissima Paola!
Ho seguito le tue istruzioni, ho fatto in pratica un sistema di Cramer in cui (in colonna) ho inserito i vettori di $S_k$ ottenendo questo risultato $\{(- 2x_1 + x_2 - 3x_3 = -1),(- x_1 + x_2 - 2x_3 = 0),(2x_1 + 2x_3 = 2), (3x_1 + 2x_2 + (k - 1)x_3 = 5):}$ svolgendo il sistema arrivo a questa conclusione $\{(0 = 0),(x_1 = 1),(x_2 = 1), (x_3 = 0):}$, ma ancora non ho capito come faccio a capire per quali valori di k il vettore w dipende da $S_k$.
Ho seguito le tue istruzioni, ho fatto in pratica un sistema di Cramer in cui (in colonna) ho inserito i vettori di $S_k$ ottenendo questo risultato $\{(- 2x_1 + x_2 - 3x_3 = -1),(- x_1 + x_2 - 2x_3 = 0),(2x_1 + 2x_3 = 2), (3x_1 + 2x_2 + (k - 1)x_3 = 5):}$ svolgendo il sistema arrivo a questa conclusione $\{(0 = 0),(x_1 = 1),(x_2 = 1), (x_3 = 0):}$, ma ancora non ho capito come faccio a capire per quali valori di k il vettore w dipende da $S_k$.
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