Sistema di generatori e combinazione lineare

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Buonasera a tutti, ho appena iniziato a studiare algebra lineare per un esame. Potete spiegarmi in parole povere come faccio a stabilire se in un spazio vettoriale V dato un sistema di vettori ad esempio:

S1= [(1,0) , (0,1)]

S2= [(1,0) , (4,0)]

risulta essere un sistema di generatori e quindi una combinazione lineare?

Vorrei una semplice spiegazione teorica e come devo ragionare per stabilirlo praticamente... grazie

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nessuno?

[fu^2]

[mod="fu^2"]pretendere risposte immediate non è una bella cosa, ri - uppare 2 ore dopo vuol dire questo...

Se vuoi una risposta al tuo po.st è bene indirizzare gli utenti che vorrebbero darti una mano su una strada maestra, i.e. prova a dire cosa faresti per risolvere l'esercizio.

Grazie[/mod]

https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html

qui puoi trovare la teoria spiegata in modo semplice, se non sai da dove partire forse è meglio che ci butti un occhio al link che ti ho messo.

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"fu^2":

https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html

qui puoi trovare la teoria spiegata in modo semplice, se non sai da dove partire forse è meglio che ci butti un occhio al link che ti ho messo.

grazie veramente ottimo quel link... per caso sono spiegati anche altri argomenti? Scusami non sono ancora pratico in questo forum..

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"Sergio":fu^2 ha assolutamente ragione.
Primo consiglio: leggere il regolamento del forum: http://www.matematicamente.it/forum/regole-generali-di-matematicamente-it-forum-t26457.html. Non sono regole pensate a tavolino, ma il frutto di una lunga esperienza.
Tanto per dirne una, siamo sotto Natale, c'è un gran traffico per le strade, non è detto che si sia tutti a casa per le 19.27. Che è quasi ora di cena.
Nessuno è obbligato a collegarsi al forum tra il rientro a casa e la cena.
Nessuno è obbligato a collegarsi al forum invece di vedersi qualche tg.
Tutti sono liberi, se proprio vogliono, perfino di vedersi "Affari tuoi" o "Striscia la notizia".
Non ha senso insistere alle 21.06.
E se poi uno fosse stanco e avesse bisogno di una sana dormita? Dovrebbe rinunciare al sonno per collegarsi al forum?

Ciò premesso....

[quote="max_power"]Buonasera a tutti, ho appena iniziato a studiare algebra lineare per un esame. Potete spiegarmi in parole povere come faccio a stabilire se in un spazio vettoriale V dato un sistema di vettori ad esempio:

S1= [(1,0) , (0,1)]

S2= [(1,0) , (4,0)]

risulta essere un sistema di generatori e quindi una combinazione lineare?

Regola d'oro: imparare a usare le parole. La matematica ha un suo linguaggio, che va rispettato. Sia perché... lo merita, sia perché se non lo si fa si viene poi irrimediabilmente (e giustamente) stangati all'orale.
Un "sistema di generatori" è una cosa, una "combinazione lineare" è un'altra.
La combinazione lineare non è altro che il "meccanismo" che permette di ottenere alcuni elementi di uno spazio vettoriale da altri.
Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi che possono essere sommati insieme e moltiplicati per numeri, quindi qualsiasi somma e/o prodotto per un numero di elementi di uno spazio vettoriale è a sua volta un elemento dello stesso spazio vettoriale.
Ciò consente di parlare di "generatori" di uno spazio vettoriale: dati alcuni suoi elementi, questi generano uno spazio vettoriale nel senso che si può definire uno spazio vettoriale come l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari.
Ad esempio, i vettori $(1,0)$ e $(0,1)$ generano tutto lo spazio dei vettori di due elementi: $(0,0)=0(1.0)+0(0,1)$, $(1,7)=1(1,0)+7(0,1)$, $(sqrt(2),\pi)=\sqrt(2)(1,0)+\pi(0,1)$ ecc. In generale, tutti gli elementi $(x,y)$ di uno spazio vettoriale (puoi pensare al piano, a $x$ come ascissa e a $y$ come ordinata) -- compreso l'origine, cioè il vettore nullo $(0,0)$ -- possono essere visti come una combinazione lineare dei due vettori: $x(1,0)+y(0,1)$.
I vettori $(1,0)$ e $(4,0)$ sono diversi, perché sono l'uno una combinazione lineare dell'altro: $(1,0)=1/4(4,0)$ e $(4,0)=4(1,0)$. Sono infatti proporzionali. Questo vuol dire che l'uno genera lo stesso spazio generato dall'altro (esempio geometrico facile facile: entrambi generano tutti i vettori paralleli all'asse delle ascisse di un piano). Ad esempio, il vettore $(12,0)$ è generato dal primo: $12(1,0)$, ma anche dal secondo: $3(4,0)$.
Ma un vettore che abbia il secondo elemento non nullo non può in alcun modo essere generato né dal primo né dal secondo.
Questo accade perché, mentre i due vettori di $S1$ sono linearmente indipendenti, quelli di $S2$ non lo sono, sono linearmente dipendenti.

Concludendo: i vettori di $S1$ generano lo spazio ${(x,y)" : " x in RR, y in RR}$, che è uno spazio a 2 dimensioni (geometricamente: un piano), quelli di $S2$ generano lo spazio ${(x,0)" : " x in RR}$, che è uno spazio a 1 dimensione (geometricamente: una retta)[/quote]


ciao grazie per la spiegazione... lo so sono una schiappa... ma si lavora per migliorare... saluti