Sistema di generatori
Ho un piccolo problema nel rispondere a questa domanda:
Sia $S={(1,1,0),(2,1,1),(0,2,-1),(1,-1,2),(0,0,1)}$ (lo spazio ambiente è $RR^3$)
mi chiede se è un sistema di generatori.
Io ho creato la matrice con i vettori di S, ho trovato una base, che in pratica è fatta dai primi tre vettori, ma non so rispondere a questa domanda. Qualcuno mi saprebbe suggerire un metodo generale per capire se un sistema di vettori è un sistema di generatori?
grazie in anticipo
Sia $S={(1,1,0),(2,1,1),(0,2,-1),(1,-1,2),(0,0,1)}$ (lo spazio ambiente è $RR^3$)
mi chiede se è un sistema di generatori.
Io ho creato la matrice con i vettori di S, ho trovato una base, che in pratica è fatta dai primi tre vettori, ma non so rispondere a questa domanda. Qualcuno mi saprebbe suggerire un metodo generale per capire se un sistema di vettori è un sistema di generatori?
grazie in anticipo
Risposte
Secondo me devi provare a vederli sotto un'altra luce. Facciamo un paragone con la cucina, vuoi fare una pasta aglio olio e peperoncino, ti servono due etti di pasta, una testa d'aglio, un peperoncino e olio q.b.
Se tu ne metti di più ottieni sempre una pasta aglio olio e peperoncino, se però ne togli qualcuno ottieni qualcosa di meno..
Pessimo paragone..
Mettiamola così: a te bastano x vettori a costruire tutto uno spazio, mettiamo tre in questo caso, ogni altro vettore del tuo spazio è una combinazione lineare dei tuoi tre. Ora, se tu metti i tre vettori in un insieme con un altro che è combinazione lineare di questi avrai sempre lo stesso spazio (in fondo il quarto è "figlio" dei primi tre..). L'insieme da te così ottenuto si dirà insieme di generatori (perchè genera tutto il tuo spazio). Una base è un insieme di generatori ridotto al minimo indispensabile..ovvero si eliminano tutti i "figli".
Un insieme di generatori contiene sempre una base di conseguenza, ma non vale il viceversa (dovrebbe essere chiaro il perchè..). In sostanza un insieme di generatori è una base con dei vettori in più che non ti servono.
Se tu ne metti di più ottieni sempre una pasta aglio olio e peperoncino, se però ne togli qualcuno ottieni qualcosa di meno..
Pessimo paragone..
Mettiamola così: a te bastano x vettori a costruire tutto uno spazio, mettiamo tre in questo caso, ogni altro vettore del tuo spazio è una combinazione lineare dei tuoi tre. Ora, se tu metti i tre vettori in un insieme con un altro che è combinazione lineare di questi avrai sempre lo stesso spazio (in fondo il quarto è "figlio" dei primi tre..). L'insieme da te così ottenuto si dirà insieme di generatori (perchè genera tutto il tuo spazio). Una base è un insieme di generatori ridotto al minimo indispensabile..ovvero si eliminano tutti i "figli".
Un insieme di generatori contiene sempre una base di conseguenza, ma non vale il viceversa (dovrebbe essere chiaro il perchè..). In sostanza un insieme di generatori è una base con dei vettori in più che non ti servono.
ok forse ho capito che cosa ti manca...
Te lo scrivo
Sia $X$ spazio vettoriale.
Siano $V={x_1,x_2,...,x_n}\subX$ un insieme di vettori
Se $V$ è linearmente dipendente $=> \ \exists (c_1,c_2,...,c_n)\in \mathbb{R}^n$ e $(c_1,c_2,...,c_n)\ne(0,0,...,0)$ tale che $c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=0$
A questo punto allora prendiamo $c_i$ che è il primo della ennupla $(c_1,c_2,...,c_n)$ ad essere diverso da 0;
si vede che possiamo scrivere $x_i=-[1]/[c_i] *\sum_{k\nei} c_kx_k$
quindi posso concludere che almeno un elemento di $V$ può essere scritto come combinazione lineari degli altri.
va bene?
Nel caso specifico che chiedevi tu si vede che quei vettori sono tutti complanari ok?
Quindi possono generare un piano, ovvero un qualcosa a 2 dimensioni, non a 3
Te lo scrivo
Sia $X$ spazio vettoriale.
Siano $V={x_1,x_2,...,x_n}\subX$ un insieme di vettori
Se $V$ è linearmente dipendente $=> \ \exists (c_1,c_2,...,c_n)\in \mathbb{R}^n$ e $(c_1,c_2,...,c_n)\ne(0,0,...,0)$ tale che $c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=0$
A questo punto allora prendiamo $c_i$ che è il primo della ennupla $(c_1,c_2,...,c_n)$ ad essere diverso da 0;
si vede che possiamo scrivere $x_i=-[1]/[c_i] *\sum_{k\nei} c_kx_k$
quindi posso concludere che almeno un elemento di $V$ può essere scritto come combinazione lineari degli altri.
va bene?
Nel caso specifico che chiedevi tu si vede che quei vettori sono tutti complanari ok?
Quindi possono generare un piano, ovvero un qualcosa a 2 dimensioni, non a 3
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