Sistema di generatori
Ho un piccolo problema nel rispondere a questa domanda:
Sia $S={(1,1,0),(2,1,1),(0,2,-1),(1,-1,2),(0,0,1)}$ (lo spazio ambiente è $RR^3$)
mi chiede se è un sistema di generatori.
Io ho creato la matrice con i vettori di S, ho trovato una base, che in pratica è fatta dai primi tre vettori, ma non so rispondere a questa domanda. Qualcuno mi saprebbe suggerire un metodo generale per capire se un sistema di vettori è un sistema di generatori?
grazie in anticipo
Sia $S={(1,1,0),(2,1,1),(0,2,-1),(1,-1,2),(0,0,1)}$ (lo spazio ambiente è $RR^3$)
mi chiede se è un sistema di generatori.
Io ho creato la matrice con i vettori di S, ho trovato una base, che in pratica è fatta dai primi tre vettori, ma non so rispondere a questa domanda. Qualcuno mi saprebbe suggerire un metodo generale per capire se un sistema di vettori è un sistema di generatori?
grazie in anticipo
Risposte
Un sistema di vettori è un sistema di generatori per uno spazio V se ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare di essi. Per verificarlo devi scrivere la generica combinazione lineare e vedere se funziona.
Comunque una base è per definizione un sistema di generatori in cui tutti i vettori sono linearmente indipendenti quindi se riesci a capire che è una base sei a posto...
Comunque una base è per definizione un sistema di generatori in cui tutti i vettori sono linearmente indipendenti quindi se riesci a capire che è una base sei a posto...
Si l'ultima parte lo sapevo. Solo che in questo caso la base di S è fatta dai primi tre vettori di S.
Invece nel mio caso dovrei verificarlo come hai detto tu. Quindi in pratica dovrei prendere un vettore qualunque di S e vedere se si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti? (quindi fare lo stesso procedimento con tutti i vettori)?
Nel caso è sbagliata sta cosa, mi puoi fare un esempio pratico?
Grazie
Invece nel mio caso dovrei verificarlo come hai detto tu. Quindi in pratica dovrei prendere un vettore qualunque di S e vedere se si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti? (quindi fare lo stesso procedimento con tutti i vettori)?
Nel caso è sbagliata sta cosa, mi puoi fare un esempio pratico?
Grazie
I primi 3 vettori sono linearmente indipendenti e quindi sono una base dello spazio generato che è $RR^3 $ che ha dimensione 3.
Gli altri 2 vettori non possono che essere una combinazione lineare dei 3 vettori della base.
Tutti insieme i 5 vettori sono dei generatori di $RR^3 $ ; certo non ne sono una base.ok ?
Se consideri qualunque vettore di $RR^3$ esso può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare dei 3 vettori della base ; non sarà invece esprimibile in modo univoco come combinazione lineare dei generatori.
Gli altri 2 vettori non possono che essere una combinazione lineare dei 3 vettori della base.
Tutti insieme i 5 vettori sono dei generatori di $RR^3 $ ; certo non ne sono una base.ok ?
Se consideri qualunque vettore di $RR^3$ esso può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare dei 3 vettori della base ; non sarà invece esprimibile in modo univoco come combinazione lineare dei generatori.
E' proprio il fatto che "tutti insieme i 5 vettori sono dei generatori di $RR^3$" che non capisco. Come fai a dirlo? Perchè essi sono una combinazione lineare di quelli della base?
Se prendi quei cinque vettori e ne fai una combinazione lineare ottieni un particolare vettore di R^3 (scusa ma sono impedita a scrivere). Dire che quel sistema genera R^3 significa che ogni singolo vettore lo puoi vedere in questo modo, e cioè come combinazione lineare di quei 5. In particolare riesci a generare tutto R^3 (cioè a scrivere un qualsiasi vettore di R^3) prendendone soltanto 3 linearmente indipendenti. Quei tre saranno una base di R^3 come giustamente dicevi prima.
Ma sai che non riesco a immaginare cosa sia per te una base se non hai capio cosa sia un sistema di generatori? (non leggerlo polemico, è solo che magari se capisco questo riesco a spiegarti meglio quello che non afferri)
Ma sai che non riesco a immaginare cosa sia per te una base se non hai capio cosa sia un sistema di generatori? (non leggerlo polemico, è solo che magari se capisco questo riesco a spiegarti meglio quello che non afferri)
Stiamo parlando di $RR^3 $ cioè del normale spazio tridimensionale in cui viviamo.
In esso fissiamo un sistema di riferimento ortogonale formato da tre assi , i classici assi $x,y,z $.
Bene in questo spazio ogni punto è univocamente determinato dalle tre coordinate spaziali .
Analogamente ogni vettore di questo spazio ( considera i vettori sempre con origine in O ) è esprimibile in modo unico come somma di tre vettori ciascuno orientato come uno degli assi : $vec OP = alpha vec i +beta vecj +gamma vec k $ essendo $alpha, beta, gamma$ le proiezioni del vettore sui tre assi.
Questo spazio $RR^3 $ ha dimensione 3 in quanto le combinazioni lineari di 3 vettori tra loro lin indip generano tutto lo spazio.
Nel caso specifico i tre vettori lin indip sono i tre versori $vec i, vec j , vec k $. che sono una base dello spazio( una tra le infinite basi possibili) .
Qualunque altro vettore di $RR ^3 $ non può che essere una combinazione lineare dei tre versori.
Quindi nell'esempio tuo iniziale i 5 vettori non possono essere linearmente indipendenti, siamo sempre in $RR^3 $ spazio di dimensione 3 , le cui basi sono costituite da 3 vettori lin. indip.
Abbiamo visto che dei 5 vettori i primi tre sono lin. indip. quindi sono una base di $RR^3 $. e quindi generano tutto $RR^3 $ .
Se aggiungo gli altri 2 vettori ( che sono comb lin dei precedenti 3 ) avremo ben 5 generatori di $RR^3 $ ma non sarà certo una base.
Mentre i 3 vettori ( i primi ) sono il numero minimo indispensabile per generare tutto $RR^3 $ , quando ne abbiamo 5 , ne abbiamo in sovrabbondanza
Spero di non averti confuso le idee...
In esso fissiamo un sistema di riferimento ortogonale formato da tre assi , i classici assi $x,y,z $.
Bene in questo spazio ogni punto è univocamente determinato dalle tre coordinate spaziali .
Analogamente ogni vettore di questo spazio ( considera i vettori sempre con origine in O ) è esprimibile in modo unico come somma di tre vettori ciascuno orientato come uno degli assi : $vec OP = alpha vec i +beta vecj +gamma vec k $ essendo $alpha, beta, gamma$ le proiezioni del vettore sui tre assi.
Questo spazio $RR^3 $ ha dimensione 3 in quanto le combinazioni lineari di 3 vettori tra loro lin indip generano tutto lo spazio.
Nel caso specifico i tre vettori lin indip sono i tre versori $vec i, vec j , vec k $. che sono una base dello spazio( una tra le infinite basi possibili) .
Qualunque altro vettore di $RR ^3 $ non può che essere una combinazione lineare dei tre versori.
Quindi nell'esempio tuo iniziale i 5 vettori non possono essere linearmente indipendenti, siamo sempre in $RR^3 $ spazio di dimensione 3 , le cui basi sono costituite da 3 vettori lin. indip.
Abbiamo visto che dei 5 vettori i primi tre sono lin. indip. quindi sono una base di $RR^3 $. e quindi generano tutto $RR^3 $ .
Se aggiungo gli altri 2 vettori ( che sono comb lin dei precedenti 3 ) avremo ben 5 generatori di $RR^3 $ ma non sarà certo una base.
Mentre i 3 vettori ( i primi ) sono il numero minimo indispensabile per generare tutto $RR^3 $ , quando ne abbiamo 5 , ne abbiamo in sovrabbondanza
Spero di non averti confuso le idee...
per me una base è un sistema di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale in cui ci si trova. Come hai detto tu, a partire dai vettori che fanno parte della base si può generare qualsiasi vettore dello spazio vettoriale.
Ora tu mi dici di fare una combinazione lineare con i 5 vettori di S. Cioè
$a(1,1,0)+b(2,1,1)+c(0,2,-1)+d(1,-1,2)+e(0,0,1)$ giusto?
Tutto questo a cosa lo pongo uguale?
Ora tu mi dici di fare una combinazione lineare con i 5 vettori di S. Cioè
$a(1,1,0)+b(2,1,1)+c(0,2,-1)+d(1,-1,2)+e(0,0,1)$ giusto?
Tutto questo a cosa lo pongo uguale?
Ottieni l'espressione del generico vettore di $RR^3 $ , facendo variare i parametri $ a,b,c,d,e $ ottieni tutti i vettori di $RR^3 $.
quindi se ad $a,b,c,d,e$ dò i valori canonici alla fine trovo tutti i vettori di $RR^3$ giusto?!
Camillo comunque grazie per la precisa spiegazione che mi hai dato prima, adesso ho più chiaro molte cose, quindi ho capito perchè i 5 vettori sono generatori, grazie davvero.
Mentre praticamente lo verifico con la combinazione lineare facendo poi variare le variabili?!
Camillo comunque grazie per la precisa spiegazione che mi hai dato prima, adesso ho più chiaro molte cose, quindi ho capito perchè i 5 vettori sono generatori, grazie davvero.
Mentre praticamente lo verifico con la combinazione lineare facendo poi variare le variabili?!
"Lorin":
E' proprio il fatto che "tutti insieme i 5 vettori sono dei generatori di $RR^3$" che non capisco. Come fai a dirlo? Perchè essi sono una combinazione lineare di quelli della base?
Ragionando in maniera insiemistica viene molto facile.
Supponiamo che $S \subseteq RR^n$ contenga una base $B$ di $RR^n$ e mostriamo che $S$ è un insieme di generatori di $RR^n$ senza fare conti.
Detti $"span "S$ e $"span "B$ i sottospazi di $RR^n$ generati da $S$ e $B$, dobbiamo far vedere che $"span "S=RR^n$.
Abbiamo:
1) $"span "B=RR^n$ (poiché $B$ è base di $RR^n$)
2) $"span "S\subseteq RR^n$ (ovviamente)
3) $"span "B\subseteq "span "S$ (infatti se $x \in "span "B$ allora $x$ è combinazione lineare di elementi di $B$; visto che $B\subseteq S$, ciò implica che $x$ è combinazione lineare di elementi di $S$, quindi $x \in "span "S$)
e mettendo insieme 1-3) troviamo:
$RR^n="span " B\subseteq "span "S\subseteq RR^n => "span "S=RR^n$
cosicché $S$ è un sistema di generatori di $RR^n$.
"Lorin":
quindi se ad $a,b,c,d,e$ dò i valori canonici alla fine trovo tutti i vettori di $RR^3$ giusto?!
Camillo comunque grazie per la precisa spiegazione che mi hai dato prima, adesso ho più chiaro molte cose, quindi ho capito perchè i 5 vettori sono generatori, grazie davvero.
Mentre praticamente lo verifico con la combinazione lineare facendo poi variare le variabili?!
Cosa intendi con valori canonici ? Ad $ a,b,c,d,e $ devi assegnare tutti i valori reali per ottenere tutti i vettori di $RR^3 $ .
chiarito tutto grazie!
Scusate se riesumo questo 3d ma ho lo stesso problema di chi h postato la domanda nel senso che nemmeno io ho ben capito come si verifica che un insieme è un sistema o non di generatori. Ricollegandomi all'esercizio posto all'inizio del 3d chiedo a qualcuno di inserire un nuovo vettore che non sia un sistema di generatori.
$S:=\{ (1,0,1), (0,1,1),(-1,2,1),(sqrt(7),2sqrt(7),3sqrt(7))\}$ non genera $RR^3$.
perchè?
scusa la domanda banale
scusa la domanda banale
Fai un po' di conti... Quanti vettori linearmente indipendenti ci sono in $S$?
Ce ne sono solo 2 precisamente i primi due.
ce ne sono 2, ma non SOLO i primi 2
e se ce ne sono 2 non possono generare $\mathbb{R}^3$, ma genereranno un piano incluso in $\mathbb{R}^3$
e se ce ne sono 2 non possono generare $\mathbb{R}^3$, ma genereranno un piano incluso in $\mathbb{R}^3$
I primi due sono indipendenti perchè non sono proporzionali tra di loro.
Sti generatori sono difficilissimi
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