Sistema di equazioni quadratiche
Ciao a tutti!
Girando su un po' di forum, mi sono imbattuto in un problema interessante. Ipotizziamo di avere $ M $ equazioni quadratiche:
$ ul(x)^T A_i ul(x) + ul(b)^T ul(x) = c $ , $ i = 1,...,M $
con $ ul(x) in mathbb(R)^N $ e $ N < M $. Ci si chiede in quali condizioni questo sistema può avere soluzioni $ ul(x) $ non nulle. Per cominciare si può riscrivere il sistema per togliere le forma lineari e rimanere solo con le forme quadratiche:
$ ul(hat(x))^T B_i ul(hat(x)) = c $ , $ i = 1,...,M $ , $ ul(hat(x)) = [ ( 1 ),( ul(x) ) ] $ , $ B_i = [ ( 0 , ul(b)^T/2 ),( ul(b) , A_i ) ] $
Ho dei dubbi su quello che succede al variare di $ c $.
1) $c = 0$. Ipotizziamo che esista una soluzione $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ che soddisfa le $ M $ equazioni quadratiche, cioè $ (ul(hat(x))^(\ast))^T B_i ul(hat(x))^(\ast) = 0, i = 1,...,M $. Questo si può anche scrivere in termini di prodotti scalari $ langle ul(hat(x))^(\ast) , B_i ul(hat(x))^(\ast) rangle = 0 $, cioè $ ul(hat(x))^(\ast) $ è ortogonale allo spazio generato dai vettori $
B_i ul(hat(x))^(\ast) $. Ipotizziamo che fra questi vettori ce ne siano $ r $ linearmente indipendenti, con $ M >= r $. Se $ r = N+1 $, allora questi $ r $ vettori possono generare qualsiasi vettore in $ mathbb(R)^(N+1) $. Però prima abbiamo visto che $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ è ortogonale allo spazio generato da questi vettori, quindi $ ul(hat(x))^(\ast) = ul(0) $ è l'unica soluzione possibile. La prima difficoltà che ho è capire questo cosa comporta a livello di proprietà delle matrici $ B_i $. Cioè, per avere $ r $ vettori $ B_i ul(hat(x)) $ linearmente indipendenti, che proprietà devono avere le matrici $ B_i $? Su alcuni forum si dice che le $ B_i $ devono essere invertibili, ma non capisco come questo porti ad avere i vettori $ B_i ul(x) $ linearmente indipendenti.
2) Ancora $ c = 0 $. Questa volta $ r < N + 1 $, quindi lo spazio generato da $ r $ vettori $ B_i ul(hat(x)) $ ha dimensione minore di $ N+1 $. Allora, ragionando sulle condizioni di ortogonalità del punto precedente, questa volta può effettivamente esistere un vettore $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ non nullo che soddisfa tutte le $ M $ equazioni quadratiche. Anche qui però, come al punto precedente, mi sfuggono le proprietà delle matrici $ B_i $. Inoltre credo sia necessario tener presente che $ ul(hat(x)) $ ha una componente "finta", poiché è definita come $ ul(hat(x)) = [ ( 1 ),( ul(x) ) ] $
3) $ c > 0 $. In questo caso direi che basta avere una sola fra le matrici $ B_i $ che risulta essere definita negativa per far sì che sia ammissibile solo $ ul(hat(x)) = ul(0) $. Infatti, se fra le $ M $ matrici delle forme quadratiche ne esiste una definita negativa, diciamo $ B_j $, per questa si ha $ ul(hat(x))^T B_j ul(hat(x)) < 0 $ per qualsiasi $ ul(hat(x)) in mathbb(R)^(N+1) $ non nullo, quindi non può soddisfare $ ul(hat(x))^T B_j ul(hat(x)) = c $ con $ c > 0 $. Un discorso simile si può fare quando $ c < 0 $ (in questo caso basta una sola matrice definita positiva). Non mi è però chiaro cosa si possa dire nel caso in cui ci siano solo matrici semidefinite e/o non definite. Avete a indicazioni a riguardo?
Grazie a tutti!
Girando su un po' di forum, mi sono imbattuto in un problema interessante. Ipotizziamo di avere $ M $ equazioni quadratiche:
$ ul(x)^T A_i ul(x) + ul(b)^T ul(x) = c $ , $ i = 1,...,M $
con $ ul(x) in mathbb(R)^N $ e $ N < M $. Ci si chiede in quali condizioni questo sistema può avere soluzioni $ ul(x) $ non nulle. Per cominciare si può riscrivere il sistema per togliere le forma lineari e rimanere solo con le forme quadratiche:
$ ul(hat(x))^T B_i ul(hat(x)) = c $ , $ i = 1,...,M $ , $ ul(hat(x)) = [ ( 1 ),( ul(x) ) ] $ , $ B_i = [ ( 0 , ul(b)^T/2 ),( ul(b) , A_i ) ] $
Ho dei dubbi su quello che succede al variare di $ c $.
1) $c = 0$. Ipotizziamo che esista una soluzione $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ che soddisfa le $ M $ equazioni quadratiche, cioè $ (ul(hat(x))^(\ast))^T B_i ul(hat(x))^(\ast) = 0, i = 1,...,M $. Questo si può anche scrivere in termini di prodotti scalari $ langle ul(hat(x))^(\ast) , B_i ul(hat(x))^(\ast) rangle = 0 $, cioè $ ul(hat(x))^(\ast) $ è ortogonale allo spazio generato dai vettori $
B_i ul(hat(x))^(\ast) $. Ipotizziamo che fra questi vettori ce ne siano $ r $ linearmente indipendenti, con $ M >= r $. Se $ r = N+1 $, allora questi $ r $ vettori possono generare qualsiasi vettore in $ mathbb(R)^(N+1) $. Però prima abbiamo visto che $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ è ortogonale allo spazio generato da questi vettori, quindi $ ul(hat(x))^(\ast) = ul(0) $ è l'unica soluzione possibile. La prima difficoltà che ho è capire questo cosa comporta a livello di proprietà delle matrici $ B_i $. Cioè, per avere $ r $ vettori $ B_i ul(hat(x)) $ linearmente indipendenti, che proprietà devono avere le matrici $ B_i $? Su alcuni forum si dice che le $ B_i $ devono essere invertibili, ma non capisco come questo porti ad avere i vettori $ B_i ul(x) $ linearmente indipendenti.
2) Ancora $ c = 0 $. Questa volta $ r < N + 1 $, quindi lo spazio generato da $ r $ vettori $ B_i ul(hat(x)) $ ha dimensione minore di $ N+1 $. Allora, ragionando sulle condizioni di ortogonalità del punto precedente, questa volta può effettivamente esistere un vettore $ ul(hat(x))^(\ast) in mathbb(R)^(N+1) $ non nullo che soddisfa tutte le $ M $ equazioni quadratiche. Anche qui però, come al punto precedente, mi sfuggono le proprietà delle matrici $ B_i $. Inoltre credo sia necessario tener presente che $ ul(hat(x)) $ ha una componente "finta", poiché è definita come $ ul(hat(x)) = [ ( 1 ),( ul(x) ) ] $
3) $ c > 0 $. In questo caso direi che basta avere una sola fra le matrici $ B_i $ che risulta essere definita negativa per far sì che sia ammissibile solo $ ul(hat(x)) = ul(0) $. Infatti, se fra le $ M $ matrici delle forme quadratiche ne esiste una definita negativa, diciamo $ B_j $, per questa si ha $ ul(hat(x))^T B_j ul(hat(x)) < 0 $ per qualsiasi $ ul(hat(x)) in mathbb(R)^(N+1) $ non nullo, quindi non può soddisfare $ ul(hat(x))^T B_j ul(hat(x)) = c $ con $ c > 0 $. Un discorso simile si può fare quando $ c < 0 $ (in questo caso basta una sola matrice definita positiva). Non mi è però chiaro cosa si possa dire nel caso in cui ci siano solo matrici semidefinite e/o non definite. Avete a indicazioni a riguardo?
Grazie a tutti!
Risposte
CIa0, benvenuto!
Bel problema, scriverò qualcosa più tardi; per adesso aggiungo che (fino a dichiarazione contraria) assumi che \(\displaystyle c\in\mathbb{R}\)!?
Bel problema, scriverò qualcosa più tardi; per adesso aggiungo che (fino a dichiarazione contraria) assumi che \(\displaystyle c\in\mathbb{R}\)!?
C'è un errore, \(B_i\) è definita da \(\left(\begin{smallmatrix}
0 & b^t/2 \\
b & A_i
\end{smallmatrix}\right)\) ma dovrebbe essere \(\left(\begin{smallmatrix}
0 & b^t/2 \\
b/2 & A_i
\end{smallmatrix}\right)\).
Poi, che differenza c'è tra il tuo problema e l'intersecare $M$ quadriche affini (proprio quelle date dalle forme quadratiche $B_i$ che hai definito) in \(\mathbb R^N\)? Osserva che la parte antisimmetrica di \(B_i\), \(\Lambda(B_i):=\frac{B_i-B_i^t}{2}\) non contribuisce al problema, perché \(\langle\hat x, (\Lambda(B_i)\hat x\rangle = 0\)
0 & b^t/2 \\
b & A_i
\end{smallmatrix}\right)\) ma dovrebbe essere \(\left(\begin{smallmatrix}
0 & b^t/2 \\
b/2 & A_i
\end{smallmatrix}\right)\).
Poi, che differenza c'è tra il tuo problema e l'intersecare $M$ quadriche affini (proprio quelle date dalle forme quadratiche $B_i$ che hai definito) in \(\mathbb R^N\)? Osserva che la parte antisimmetrica di \(B_i\), \(\Lambda(B_i):=\frac{B_i-B_i^t}{2}\) non contribuisce al problema, perché \(\langle\hat x, (\Lambda(B_i)\hat x\rangle = 0\)
Grazie! Si, mi limito a considerare $ c in mathbb(R) $. Scusate per l'errore sulle matrici $ B_i $, mi ero dimenticato $ /2 $ nella prima colonna. In effetti avevo notato che si tratta dell'intersezione di $ M $ quadratiche, però il tipo di ogni quadratica dipende dai segni degli autovalori delle rispettive matrici, e viste tutte le combinazioni possibili non saprei dire se esiste una qualche intersezione comune a tutte le quadratiche. Ho solo individuato alcuni casi (riportati nel primo post) in cui credo di poter dire che c'è solo la soluzione nulla. Avevo notato che nelle forme quadratiche conta solo la parte simmetrica della matrice, ma questo come mi può aiutare?
Chiaramente è impossibile rispondere dicendo qualcosa di molto più profondo che non "risolvi il sistema": devi studiare la maniera in cui le intersezioni di una famiglia di quadriche si comportano...
La tua è una domanda altamente non banale!
Mi sono ricordato di questo appendice (non inserito nella mia tesi dottorale): forse ti può essere di input.
Questi tratta dell'intersezione di tre coniche.
Mi sono ricordato di questo appendice (non inserito nella mia tesi dottorale): forse ti può essere di input.
Questi tratta dell'intersezione di tre coniche.
Grazie! Lo leggerò con attenzione. Solo un'ultima cosa, riguardante soltanto un'affermazione che ho riportato al punto 1) del mio post iniziale e che ho trovato in alcuni forum. Perché alcuni affermano che basta avere le matrici $ B_j $ invertibili per avere i vettori $ B_j ul(hat(x))^(\ast) $ linearmente indipendenti? Per avere questi vettori linearmente indipendenti, la somma $ alpha_1 B_1 ul(hat(x))^(\ast) + alpha_2 B_2 ul(hat(x))^(\ast) + ... + alpha_r B_r ul(hat(x))^(\ast) $ deve essere uguale al vettore nullo solo per $ alpha_1 = alpha_2 = ... = alpha_r = 0 $, ma non vedo come l'invertibilità delle $ B_j $ mi garantisca ciò.
Non mi trovo!
Esempio: \(\displaystyle B_1=-B_2\in GL(n,\mathbb{K})\) non "funziona"!
Esempio: \(\displaystyle B_1=-B_2\in GL(n,\mathbb{K})\) non "funziona"!
Con $ GL $ intendi il gruppo generale lineare? In effetti questo confermerebbe le mie perplessità. Grazie!
Ma che tipo di soluzione vuoi? Questo genere di problemi è difficile. Ti andrebbe bene risolverlo numericamente, per esempio cercando di minimizzare la funzione \(\sum_i (x^tB_ix-c_i)^2\) se $B_i$ sono le $N$ matrici simmetriche e $c_i$ le costanti? Gli zeri, ossia i minimi, di questa funzione ausiliaria sono le soluzioni del sistema per costruzione. Ora, una funzione si minimizza facendo due derivate...
Più che il calcolo delle soluzioni mi interessavano le condizioni sulle matrici $ B_i $ che permettevano al sistema di avere soluzioni non nulle
Anche questa è un'idea interessante, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo