Sistema di equazioni lineari con parametro
Ciao ragazzi 
, sono qui oggi con un esercizio banale di geometria A. Vorrei sapere se lo svolgimento da me fatto e' corretto. Esso cita:
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & k & k & h \end{pmatrix} \)
dove l'ultima colonna e' quella dei termini noti.
a)Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R per i quali il sistema e`compatibile.
b)Per i valori di h e k ottenuti al punto (a), determinare la(e) soluzione(i) del sistema.
Ecco come l'ho svolto:
a) Inizio studiando il determinante dei coefficienti diverso da zero, ed ottengo:
$
det(A) = k^2 -k \ne 0 \rightarrow \; k\ne 0 \; k\ne 1
$
dal teorema di Rouche' Capelli so che il sistema e' compatibile, cioe' ammette soluzioni. So anche che avrei potuto ridurre a scale le matrici A e A|b e se il loro rango era massimo allora il sistema ammette una soluzione, se il rango delle due matrici sono diverse allora il sistema non ammette soluzioni , e se il rango delle due matrici e' 2 o 1 allora il sistema ammette infinite soluzioni.
Posso concludere che il sistema ammette soluzioni $\forall h \in \R $ e $\forall k \in \R-{0,1}$
b) Ora determino la generica soluzione del sistema per quei valori compatibili di h e k, cioe':
\( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ 0 & k & 2 & h \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{pmatrix} \) $\rightarrow$ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2h-1-\frac{3}{k-1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{h}{k}-\frac{2}{k(k-1)} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k-1} \end{pmatrix} \)
Finito.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponda, sono ben accette tutte le critiche e migliorie.
, sono qui oggi con un esercizio banale di geometria A. Vorrei sapere se lo svolgimento da me fatto e' corretto. Esso cita:Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & k & k & h \end{pmatrix} \)
dove l'ultima colonna e' quella dei termini noti.
a)Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R per i quali il sistema e`compatibile.
b)Per i valori di h e k ottenuti al punto (a), determinare la(e) soluzione(i) del sistema.
Ecco come l'ho svolto:
a) Inizio studiando il determinante dei coefficienti diverso da zero, ed ottengo:
$
det(A) = k^2 -k \ne 0 \rightarrow \; k\ne 0 \; k\ne 1
$
dal teorema di Rouche' Capelli so che il sistema e' compatibile, cioe' ammette soluzioni. So anche che avrei potuto ridurre a scale le matrici A e A|b e se il loro rango era massimo allora il sistema ammette una soluzione, se il rango delle due matrici sono diverse allora il sistema non ammette soluzioni , e se il rango delle due matrici e' 2 o 1 allora il sistema ammette infinite soluzioni.
Posso concludere che il sistema ammette soluzioni $\forall h \in \R $ e $\forall k \in \R-{0,1}$
b) Ora determino la generica soluzione del sistema per quei valori compatibili di h e k, cioe':
\( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ 0 & k & 2 & h \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{pmatrix} \) $\rightarrow$ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2h-1-\frac{3}{k-1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{h}{k}-\frac{2}{k(k-1)} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k-1} \end{pmatrix} \)
Finito.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponda, sono ben accette tutte le critiche e migliorie.
Risposte
Ciao arnett , grazie per avermi risposto.
Dicendo che il sistema e' compatibile, cioe' ammette almeno una soluzione, non sto dicendo automaticamente che per $k=0$ e $k=1$ il sistema non ammette soluzione?
, grazie per avermi risposto.Dicendo che il sistema e' compatibile, cioe' ammette almeno una soluzione, non sto dicendo automaticamente che per $k=0$ e $k=1$ il sistema non ammette soluzione?
Ciao arnett,
hai proprio ragione, ora ricordo
.
Grazie per l'aiuto.
hai proprio ragione, ora ricordo
.Grazie per l'aiuto.
"arnett":
Tra l'altro mi sembra di vedere un errore di calcolo: nel caso $k \in \RR\setminus{0,1} $ mi risulta $x=(2-k)/(k-1)$.
Confermo.
@fisico8 E' ok seguire l'approccio sistematico del prof ma io trovo assai utile la visione geometrica del problema.
A parte l'errore di cui sopra, hai trovato che per $k \in \RR\setminus{0,1} $ la matrice di trasformazione ha il determinante diverso da zero. Quindi, sotto questa condizione, i vettori colonna sono tre vettori indipendenti, quindi una base di $R^3$ e generano l'immagine. Ergo, indipendentemente da h, non esistono vettori di $R^3$ che non appartengano allo spazio delle soluzioni. Quindi il sistema ha sempre una soluzione ed è unica.
Nei due casi in cui k=0 e k=1 troverai che il kernel della matrice ha dimensione uno, quindi ci sono solo due vettori colonna indipendenti i quali genereranno l'immagine (lo spazio delle soluzioni). L'immagine quindi è piano e se il vettore dei termini noti NON appartiene ad esso per qualsiasi valore di h, allora non vi è nessuna soluzione. Al contrario, se esistono valori di h per cui il vettore appartiene al piano allora vi saranno infinite soluzioni.
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