Sistema di equazioni lineari con parametro
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio 
Per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di equazioni lineari ammette:
1) una sola soluzione;
2) infinite soluzioni;
3) nessuna soluzione.
Nei casi 1) e 2) determinare l'insieme di tutte le soluzioni.
3x + 2y + hz = 3/2
hx + 2y = 0
2x + hy = 1
Affinchè il sistema abbia una sola soluzione è necessario che il determinante della matrice incompleta sia diverso da 0.
det
3 2 h
h 2 0 = h(h-2)(h+2)
2 h 0
Si ha quindi una sola soluzione per h(h-2)(h+2) diverso da 0, cioè h diverso da 0, 2, -2.
Determino le soluzioni con Cramer.
x = det
3/2 2 h
0 2 0
1 h 0
---------------- = -2 / (h-2)(h+2)
h(h-2)(h+2)
y = h / (h-2)(h+2)
z = 3/2 h - 2 / (h-2)(h+2)
casi particolari:
h = 0
3 2 0 x 3/2
0 2 0 y 0
2 0 0 z 1
Il sistema è compatibile sole se il rango della matrice incompleta A è uguale a quello della matrice completa (A/B) (Per il teorema Rouchè-Capelli). Sappiamo che il rango di A non può essere 3 perché per h=0 det A =0.
Considero la sottomatrice:
0 2
2 0
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (-4).
Ora considero al matrice completa
3 2 0 3/2
0 2 0 0
2 0 0 1
Il determinante può essere calcolato sole se la matrice è quadrata, quindi considero le sottomatrici 3x3. L'unica matrice che potrebbe avere determinante diverso da 0 è quello formato dalle colonne 1, 2 e 4, infatti se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli (come avviene nella colonna 3) il determinante vale 0, Quindi:
det
3 2 3/2
0 2 0 = 0
2 0 1
Considero quindi la sottomatrice 2x2:
det
0 2
2 0 = -4
Quindi 2 = rg(A) = rg(A/B) = 2. Il sistema è quindi compatibile.
Sottosistema significativo:
0 2 x 0
2 0 y 1
x =
det 0 2
1 0
------------- = 1/2
det 0 2
2 0
y = 0
h = 2
3 2 2 x 3/2
2 2 0 y 0
2 2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (2).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 2 3/2
2 2 0 0
2 2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 2 3/2
2 0 0 = 3
2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
h = -2
3 2 -2 x 3/2
-2 2 0 y 0
2 -2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
-2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (10).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 -2 3/2
-2 2 0 0
2 -2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 -2 3/2
2 0 0 = 4
-2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
Grazie in anticipo
Per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di equazioni lineari ammette:
1) una sola soluzione;
2) infinite soluzioni;
3) nessuna soluzione.
Nei casi 1) e 2) determinare l'insieme di tutte le soluzioni.
3x + 2y + hz = 3/2
hx + 2y = 0
2x + hy = 1
Affinchè il sistema abbia una sola soluzione è necessario che il determinante della matrice incompleta sia diverso da 0.
det
3 2 h
h 2 0 = h(h-2)(h+2)
2 h 0
Si ha quindi una sola soluzione per h(h-2)(h+2) diverso da 0, cioè h diverso da 0, 2, -2.
Determino le soluzioni con Cramer.
x = det
3/2 2 h
0 2 0
1 h 0
---------------- = -2 / (h-2)(h+2)
h(h-2)(h+2)
y = h / (h-2)(h+2)
z = 3/2 h - 2 / (h-2)(h+2)
casi particolari:
h = 0
3 2 0 x 3/2
0 2 0 y 0
2 0 0 z 1
Il sistema è compatibile sole se il rango della matrice incompleta A è uguale a quello della matrice completa (A/B) (Per il teorema Rouchè-Capelli). Sappiamo che il rango di A non può essere 3 perché per h=0 det A =0.
Considero la sottomatrice:
0 2
2 0
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (-4).
Ora considero al matrice completa
3 2 0 3/2
0 2 0 0
2 0 0 1
Il determinante può essere calcolato sole se la matrice è quadrata, quindi considero le sottomatrici 3x3. L'unica matrice che potrebbe avere determinante diverso da 0 è quello formato dalle colonne 1, 2 e 4, infatti se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli (come avviene nella colonna 3) il determinante vale 0, Quindi:
det
3 2 3/2
0 2 0 = 0
2 0 1
Considero quindi la sottomatrice 2x2:
det
0 2
2 0 = -4
Quindi 2 = rg(A) = rg(A/B) = 2. Il sistema è quindi compatibile.
Sottosistema significativo:
0 2 x 0
2 0 y 1
x =
det 0 2
1 0
------------- = 1/2
det 0 2
2 0
y = 0
h = 2
3 2 2 x 3/2
2 2 0 y 0
2 2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (2).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 2 3/2
2 2 0 0
2 2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 2 3/2
2 0 0 = 3
2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
h = -2
3 2 -2 x 3/2
-2 2 0 y 0
2 -2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
-2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (10).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 -2 3/2
-2 2 0 0
2 -2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 -2 3/2
2 0 0 = 4
-2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
Grazie in anticipo
Risposte
Mi sembra corretto quanto scrivi ( non ho letto tutto).
Sintetizzo così:
*se $ hne0,+-2 $ una sola soluzione : $x= 2/(4-h^2) ; y= -h/(4-h^2) ; z= (4-3h)/(2(4-h^2)) $ S.E.O.
*se $h=0 $ si hanno $oo^1 $ soluzioni : $x=1/2;y=0 ; z= z $
*se $h=+-2 $ nessuna soluzione.
Sintetizzo così:
*se $ hne0,+-2 $ una sola soluzione : $x= 2/(4-h^2) ; y= -h/(4-h^2) ; z= (4-3h)/(2(4-h^2)) $ S.E.O.
*se $h=0 $ si hanno $oo^1 $ soluzioni : $x=1/2;y=0 ; z= z $
*se $h=+-2 $ nessuna soluzione.
Perfetto quindi ho fatto tutto bene. Grazie mille
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