Sistema di equazioni con parametro
Ciao ragazzi 
, oggi sono qui con un secondo esercizio di Geometria. Ci sono dei punti richiesti in cui non sono dove mettere le mani. Esso recita:
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 2 & h & -1 & 1 \\ h & -1 & h & h \\ 1 & -h & 1 & k \end{pmatrix} \)
(dove la quanta colonna e' quella dei termini noti) al variare dei parametri h, k ∈ R.
a) Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R, per i quali il sistema e' compatibile e in caso di sistema compatibile trovare le soluzioni del sistema.
b) Per i valori di h, k per i quali il sistema e compatibile stabilire se l’insieme` S delle soluzioni e un sottospazio vettoriale.
c) Descrivere l’insieme S da un punto di vista geometrico.
Svolgimento (fatto da me):
a) Inizio studiando il determinante della matrice dei coefficienti ed ottengo:
$
det(A) = h^2 -1 \ne 0
$
quindi per $h\ne \pm 1$ ho che la soluzione del sistema e' unica. Ora risolvo il sistema per $h = \pm 1$ ed ottengo (non riporto il procedimento perche' molto lungo) che esso ammette $\infty^1$ soluzione se $k=2$.
Le soluzioni del sistema sono:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{k}{3}+\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 &
\frac{h-hk}{h^2-1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2k}{3}-\frac{1}{3}+\frac{h^2-h^2 k}{h^2-1} \end{pmatrix} \)
mentre per $h=\pm 1$ e $k=2$ ottengo che le soluzioni sono
$
h=1 , k=2 \rightarrow (x,x-1,0) x \in R
$
$
h=-1,k=2 \rightarrow (\frac{1}{3}, y,\frac{1}{3}-y) y\in R
$
b) Questa parte non so come verificarlo, io so che per definizone di sottospazio vettoriale, presi due qualunque vettori di tale sottospazio deve verificarsi che $\alpha u + \beta v \in W $ (con W sottospazio in questione). Ma come faccio a dimostrarlo? (HELP)
c) Descrivendo da un punto di vista geometrico, posso affermare che l'insieme di S sono un sistema di generatori per esso?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta e la pazienza.
, oggi sono qui con un secondo esercizio di Geometria. Ci sono dei punti richiesti in cui non sono dove mettere le mani. Esso recita:Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 2 & h & -1 & 1 \\ h & -1 & h & h \\ 1 & -h & 1 & k \end{pmatrix} \)
(dove la quanta colonna e' quella dei termini noti) al variare dei parametri h, k ∈ R.
a) Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R, per i quali il sistema e' compatibile e in caso di sistema compatibile trovare le soluzioni del sistema.
b) Per i valori di h, k per i quali il sistema e compatibile stabilire se l’insieme` S delle soluzioni e un sottospazio vettoriale.
c) Descrivere l’insieme S da un punto di vista geometrico.
Svolgimento (fatto da me):
a) Inizio studiando il determinante della matrice dei coefficienti ed ottengo:
$
det(A) = h^2 -1 \ne 0
$
quindi per $h\ne \pm 1$ ho che la soluzione del sistema e' unica. Ora risolvo il sistema per $h = \pm 1$ ed ottengo (non riporto il procedimento perche' molto lungo) che esso ammette $\infty^1$ soluzione se $k=2$.
Le soluzioni del sistema sono:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{k}{3}+\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 &
\frac{h-hk}{h^2-1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2k}{3}-\frac{1}{3}+\frac{h^2-h^2 k}{h^2-1} \end{pmatrix} \)
mentre per $h=\pm 1$ e $k=2$ ottengo che le soluzioni sono
$
h=1 , k=2 \rightarrow (x,x-1,0) x \in R
$
$
h=-1,k=2 \rightarrow (\frac{1}{3}, y,\frac{1}{3}-y) y\in R
$
b) Questa parte non so come verificarlo, io so che per definizone di sottospazio vettoriale, presi due qualunque vettori di tale sottospazio deve verificarsi che $\alpha u + \beta v \in W $ (con W sottospazio in questione). Ma come faccio a dimostrarlo? (HELP)
c) Descrivendo da un punto di vista geometrico, posso affermare che l'insieme di S sono un sistema di generatori per esso?
Vi ringrazio in anticipo per la risposta e la pazienza.
Risposte
La soluzione unica è ok.
Per $ h=+- 1 $ il kernel ha dimensione uno quindi lo spazio delle colonne (=immagine) ha dimensione 2, ovvero un piano.
Per h=1 il sistema ha infinite soluzioni solo e solo se k=0. Lo spazio delle soluzioni è la retta $ r: {( ( x ),( y ),( z ) ) =t( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )+( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) $
Per h=-1 il sistema ha infinite soluzioni solo e solo se k=1. Lo spazio delle soluzioni è la retta $ s: {( ( x ),( y ),( z ) ) =t( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Per $ h=+- 1 $ il kernel ha dimensione uno quindi lo spazio delle colonne (=immagine) ha dimensione 2, ovvero un piano.
Per h=1 il sistema ha infinite soluzioni solo e solo se k=0. Lo spazio delle soluzioni è la retta $ r: {( ( x ),( y ),( z ) ) =t( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )+( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) $
Per h=-1 il sistema ha infinite soluzioni solo e solo se k=1. Lo spazio delle soluzioni è la retta $ s: {( ( x ),( y ),( z ) ) =t( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $
"fisico8":
b) Questa parte non so come verificarlo, io so che per definizone di sottospazio vettoriale, presi due qualunque vettori di tale sottospazio deve verificarsi che $\alpha u + \beta v \in W $ (con W sottospazio in questione). Ma come faccio a dimostrarlo? (HELP)
c) Descrivendo da un punto di vista geometrico, posso affermare che l'insieme di S sono un sistema di generatori per esso?
Mi era sfuggito il resto...
Beh il modo più semplice e immediato è ricordare che uno spazio/sottospazio vettoriale contiene anche il vettore nullo (=origine), ovvero deve esistere una combinazione di vettori che restituisca il vettore nullo.
Le due rette di cui sopra non sono spazi vettoriali perchè non contengono l'origine.
La soluzione per $ h!=+- 1 $ semplicemente non è lineare.
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