Sistema...
Ciao a tutti,
posso chiedervi come avreste risolto tale sistema lineare?
${(-hx+2y+(h-2)z=0),(-x+(3-h)y+(h-2)z=0):}$
Grazie mille
Carmelo
posso chiedervi come avreste risolto tale sistema lineare?
${(-hx+2y+(h-2)z=0),(-x+(3-h)y+(h-2)z=0):}$
Grazie mille
Carmelo
Risposte
1) Matrice dei coefficienti per discutere il numero di eventuali soluzioni;
2) Riduzione ad un sistema quadrato e applicazione del Teorema di Cramer.
2) Riduzione ad un sistema quadrato e applicazione del Teorema di Cramer.
"Luca.Lussardi":
1) Matrice dei coefficienti per discutere il numero di eventuali soluzioni;
2) Riduzione ad un sistema quadrato e applicazione del Teorema di Cramer.
ancora prima di iniziare con quello che dice luca io sostituirei una delle due equazioni con quella ottenuta facendo una sottrazione membro a membro delle due, in quanto è presente in entrambe il termine $(h-2)z$..
Grazie ragazzi, in effetti era piu semplice del previsto: la soluzione è $(x,x,x)$.
Luca.Lussardi mi daresti delle dritte in piu se volessi risolverlo cn i metodi che mi hai proposto, dato che non mi sono del tutto familiari?
Ciao e grazie ancora
Luca.Lussardi mi daresti delle dritte in piu se volessi risolverlo cn i metodi che mi hai proposto, dato che non mi sono del tutto familiari?
Ciao e grazie ancora
Se non li conosci, non li puoi usare; ora io non so se conosci la teoria algebrica dei sistemi lineari, ovvero discussione su esistenza con Teorema di Rouchè-Capelli, soluzione con la regola di Cramer, ecc...
diciamo che ho una infarinatura generale dato che sto iniziando adesso a preparare geometria...il fatto è che sarebbe comodo avere un esempio pratico su cm usare questi teoremi, magari applicati per adesso al caso in esame.
Oppure se preferisci postarmi il link di qualche discussione precedente riguardante l'applicazione di questi teoremi è sempre ben accetta...
Grazie
Oppure se preferisci postarmi il link di qualche discussione precedente riguardante l'applicazione di questi teoremi è sempre ben accetta...
Grazie
Ok, anzitutto va costruita la matrice dei coefficienti, che è una matrice $2x3$; il rango di tale matrice deve uguagliare quello della matrice $2x4$ ottenuta affiancando la colonna dei termini noti, che è nulla. Ne segue, senza fare il conto, che il rango della matrice dei coefficienti uguaglia quello della matrice $2x4$. Per il Teorema di Rouchè-Capelli esistono $\infty^(2-r)$ soluzioni, dove $r$ è il rango, che varierà in funzione di $h$.
Una volta appurato il numero di solzioni, basta rendere il sistema quadrato, isolando le due incognite che danno il rango, e applicare la regola di Cramer.
Prova a seguire la strada, in caso siamo qui.
Una volta appurato il numero di solzioni, basta rendere il sistema quadrato, isolando le due incognite che danno il rango, e applicare la regola di Cramer.
Prova a seguire la strada, in caso siamo qui.
Ciao a tutti ho un problemino con un sistema; dice l'esercizio: "Si determinino i valori della k per cui il seguente sistema ammette rispettivamente: nessuna,una o infinite soluzioni
$x_1+2x_2+kx_3=5
$2x_1+3x_2+4x_3=6
$x_1+x_2+2x_3=1
ho iniziato a ragionare così:"Affinchè il sistema(quadrato) ammetta una sola soluzione deve essere invertibile quindi deve avere rango massimo e cioè det diverso da zero; ora il det è uguale a zero per k=2 e per k=2 (ho verificato) il sistema ammette infinite soluzioni che dipendono da 3-2=1 parametro; ma per k diverso da 2 (ad esempio per k=-1,k=3) il sistema ammette una sola soluzione.
Mi dite voi un modo per identificare univocamente i valori di k per cui il sistema ammetta :nessuna,una o infinite soluzioni????
GRAZIE!!!!
$x_1+2x_2+kx_3=5
$2x_1+3x_2+4x_3=6
$x_1+x_2+2x_3=1
ho iniziato a ragionare così:"Affinchè il sistema(quadrato) ammetta una sola soluzione deve essere invertibile quindi deve avere rango massimo e cioè det diverso da zero; ora il det è uguale a zero per k=2 e per k=2 (ho verificato) il sistema ammette infinite soluzioni che dipendono da 3-2=1 parametro; ma per k diverso da 2 (ad esempio per k=-1,k=3) il sistema ammette una sola soluzione.
Mi dite voi un modo per identificare univocamente i valori di k per cui il sistema ammetta :nessuna,una o infinite soluzioni????
GRAZIE!!!!
C'è qualcuno di buona volontà che mi aiuta?
Quanto dici è corretto :
Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da 0 se k diverso da 2 ; quindi per tutti i valori di k diversi da 2 si ha una e una sola soluzione .
Se k =2 allora il rango della matrice dei coefficienti vale 2 ; e lo stesso dicasi per il rango della matrice completa .(La prima + la terza equazione = alla seconda)
Quindi per il teorema di Rouchè Capellli il sistema ammette soluzioni.
Quante ? Le incognite sono 3 ; il rango della matrice è 2 ; quindi le soluzioni sono : $ oo^(3-2)=oo^1$ .
Quando non si hanno soluzioni ? mai (perchè il vettore termine noto appartiene al sottospazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti).
Se ne hanno o 1 oppure $oo^1$.
Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da 0 se k diverso da 2 ; quindi per tutti i valori di k diversi da 2 si ha una e una sola soluzione .
Se k =2 allora il rango della matrice dei coefficienti vale 2 ; e lo stesso dicasi per il rango della matrice completa .(La prima + la terza equazione = alla seconda)
Quindi per il teorema di Rouchè Capellli il sistema ammette soluzioni.
Quante ? Le incognite sono 3 ; il rango della matrice è 2 ; quindi le soluzioni sono : $ oo^(3-2)=oo^1$ .
Quando non si hanno soluzioni ? mai (perchè il vettore termine noto appartiene al sottospazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti).
Se ne hanno o 1 oppure $oo^1$.
Scusa Camillo mi puoi dire come faccio a verificare che il vettore termine noto appartiene al sottospazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti?
GRAZIE PER L'INTERESSAMENTO!!!!!!!
GRAZIE PER L'INTERESSAMENTO!!!!!!!
Esprimiamo il sistema lineare in forma matriciale, assai più compatta:
$ Ax = b $ essendo A la matrice dei coefficienti, nel nostro caso $ A =((1,2,k),(2,3,4),(1,1,2))$; $ x=(x_1,x_2,x_3) $ il vettore delle incognite e $b=(5,6,1)$ il vettore termine noto.
Nulla di particolare, se effettui il prodotto ( righe per colonne ) della matrice A per il vettore x otterrai il vettore b, ma son cose che senz'altro conosci.
*Consideriamo adesso il caso $h ne 2 $ ; il determinante della matrice A è diverso da $0 $ (la matrice è invertibile), quindi la matrice A ha rango 3 il che vuol dire che le righe sono lineramnete indipendenti ed anche le colonne lo sono.
Concentriamoci sulle colonne ad es. : le loro combinazioni lineari che cosa generano ? le colonne sono 3, sono linearmente indipendenti tra di loro e quindi generano $ R^3 $ , diciamo che generano "tutto" $R^3$ , cioè qualunque vettore di $ R^3 $ , quindi anche il vettore b .
Pertanto il sistema ha soluzione , unica in quanto esiste una sola combinazione lineare delle colonne che genera il vettore b , i coefficienti di proporzionalità sono appunto i valori che assumono le tre incognite , rappresentano cioè la soluzione, unica, del sistema .
Da notare che qualunque sia il vettore b il sistema ha sempre una e una sola soluzione, appunto per quanto detto sopra : le colonne generano tutto $R ^3 $.
Se si vuole ottenere la soluzione usando la forma matriciale $Ax= b$ si è detto prima che A è invertibile e allora esiste la matrice inversa $A^(-1)$ ; moltiplico a sinistra ambo i membri dell'equazione per $A^(-1)$ ottenendo:
$A^(-1)*A*x =A^(-1)*b $. Ma $A^(-1)*A = I $ essendo $ I $ la matrice identità e quindi : $I *x =A^(-1)*b $ e finalmente :
$x = A^(-1)*B $ che esprime in forma matriciale la soluzione del sistema.
** Passiamo adesso al caso $ k=2 $ , la matrice A ha rango 2 , solo due colonne sono linearmente indipendenti e quindi non potranno generare tutto $R^3$ ; genereranno invece un piano $ pi $ di $ R^3$ .
Se il vettore termine noto b apparterrà a questo piano allora il sistema avrà soluzioni; ma se b non appartiene a questo piano, cioè al sottospazio vettoriale generato dalle colonne di A , non ci potranno essere soluzioni .
In questo caso specifico le soluzioni ci sono in quanto il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice completa ottenuta affiancando alla matrice A il vettore b e tale rango vale 2 .(Teorema di Rouchè -Capelli).
le soluzioni ci sono perchè, detto in modo intuitivo, se sommo la prima e la terza equazione ottengo esattamente la seconda . E questo vale anche per i termini noti ; infatti : 5+1 = 6 .
Se il termine noto della seconda equazione fosse ad es. 7 , allora il sistema non avrebbe nessuna soluzione perchè :
* il rango della matrice A e di quella completa non sarebbero più uguali
* detto in modo più geometrico il nuovo vettore termine noto non apparterrebbe più al piano geberato dalle colonne di A e quindi non può esserci combinazione lineare delle colonne , cioè di vettori di quel piano che possa generare un vettore AL DI FUORI( il nuovo vettore b appunto) di quel piano .
Spero di non averti accresciuto la confusione.....
$ Ax = b $ essendo A la matrice dei coefficienti, nel nostro caso $ A =((1,2,k),(2,3,4),(1,1,2))$; $ x=(x_1,x_2,x_3) $ il vettore delle incognite e $b=(5,6,1)$ il vettore termine noto.
Nulla di particolare, se effettui il prodotto ( righe per colonne ) della matrice A per il vettore x otterrai il vettore b, ma son cose che senz'altro conosci.
*Consideriamo adesso il caso $h ne 2 $ ; il determinante della matrice A è diverso da $0 $ (la matrice è invertibile), quindi la matrice A ha rango 3 il che vuol dire che le righe sono lineramnete indipendenti ed anche le colonne lo sono.
Concentriamoci sulle colonne ad es. : le loro combinazioni lineari che cosa generano ? le colonne sono 3, sono linearmente indipendenti tra di loro e quindi generano $ R^3 $ , diciamo che generano "tutto" $R^3$ , cioè qualunque vettore di $ R^3 $ , quindi anche il vettore b .
Pertanto il sistema ha soluzione , unica in quanto esiste una sola combinazione lineare delle colonne che genera il vettore b , i coefficienti di proporzionalità sono appunto i valori che assumono le tre incognite , rappresentano cioè la soluzione, unica, del sistema .
Da notare che qualunque sia il vettore b il sistema ha sempre una e una sola soluzione, appunto per quanto detto sopra : le colonne generano tutto $R ^3 $.
Se si vuole ottenere la soluzione usando la forma matriciale $Ax= b$ si è detto prima che A è invertibile e allora esiste la matrice inversa $A^(-1)$ ; moltiplico a sinistra ambo i membri dell'equazione per $A^(-1)$ ottenendo:
$A^(-1)*A*x =A^(-1)*b $. Ma $A^(-1)*A = I $ essendo $ I $ la matrice identità e quindi : $I *x =A^(-1)*b $ e finalmente :
$x = A^(-1)*B $ che esprime in forma matriciale la soluzione del sistema.
** Passiamo adesso al caso $ k=2 $ , la matrice A ha rango 2 , solo due colonne sono linearmente indipendenti e quindi non potranno generare tutto $R^3$ ; genereranno invece un piano $ pi $ di $ R^3$ .
Se il vettore termine noto b apparterrà a questo piano allora il sistema avrà soluzioni; ma se b non appartiene a questo piano, cioè al sottospazio vettoriale generato dalle colonne di A , non ci potranno essere soluzioni .
In questo caso specifico le soluzioni ci sono in quanto il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice completa ottenuta affiancando alla matrice A il vettore b e tale rango vale 2 .(Teorema di Rouchè -Capelli).
le soluzioni ci sono perchè, detto in modo intuitivo, se sommo la prima e la terza equazione ottengo esattamente la seconda . E questo vale anche per i termini noti ; infatti : 5+1 = 6 .
Se il termine noto della seconda equazione fosse ad es. 7 , allora il sistema non avrebbe nessuna soluzione perchè :
* il rango della matrice A e di quella completa non sarebbero più uguali
* detto in modo più geometrico il nuovo vettore termine noto non apparterrebbe più al piano geberato dalle colonne di A e quindi non può esserci combinazione lineare delle colonne , cioè di vettori di quel piano che possa generare un vettore AL DI FUORI( il nuovo vettore b appunto) di quel piano .
Spero di non averti accresciuto la confusione.....
No grazie sei stato molto chiaro!
A proposito mica sei riuscito a risolvere l'esercizio inerente al teorema spettrale presente nella sezione "sistema" del forum?
A proposito mica sei riuscito a risolvere l'esercizio inerente al teorema spettrale presente nella sezione "sistema" del forum?
Ciao raga qualcuno mi potrebbe dare un'okkiata a questo esercizio perkè nn so se l'ho risolto correttamente in quanto nn ho la soluzione?
Si risolva, utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, il seguente sistema di equazioni lineati:
$2x_1+x_2+x_3+x_4=2
$3x_1+x_2+3x_3+3x_4=3
$8x_1+4x_2+3x_3+4x_4=8
Questo sistema dovrebbe ammettere infinite soluzioni dipendenti da un parametro, per cui a me la soluzione è uscita:
$(1-2h;3h;0;h)
dove "h" è il parametro sopracitato.
Vi chiedo questo favore perchè non avendo le soluzioni non posso controllare l'esattezza del risultato ed io ho bisogno di sapere se il mio procedimento è esatto!!!!
GRAZIE A TUTTI!!!!!!!!
Si risolva, utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, il seguente sistema di equazioni lineati:
$2x_1+x_2+x_3+x_4=2
$3x_1+x_2+3x_3+3x_4=3
$8x_1+4x_2+3x_3+4x_4=8
Questo sistema dovrebbe ammettere infinite soluzioni dipendenti da un parametro, per cui a me la soluzione è uscita:
$(1-2h;3h;0;h)
dove "h" è il parametro sopracitato.
Vi chiedo questo favore perchè non avendo le soluzioni non posso controllare l'esattezza del risultato ed io ho bisogno di sapere se il mio procedimento è esatto!!!!
GRAZIE A TUTTI!!!!!!!!
La funzione di risoluzione di sistemi lineari di Mathematica dice che la soluzione è corretta. 
Grazie mille Eredir!!!!!!!!!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo