Sistema
potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio:
si discuta e si risolva il seguente sistema parametrico
hx+(h-1)y=2-h
(h+1)x+(h-1)z=2h
2hx+(h^2 - h)z=h+2h^2 +1
-inoltre si risolva per h= -1
Grazie, Anna
si discuta e si risolva il seguente sistema parametrico
hx+(h-1)y=2-h
(h+1)x+(h-1)z=2h
2hx+(h^2 - h)z=h+2h^2 +1
-inoltre si risolva per h= -1
Grazie, Anna
Risposte
@Anna.interfree
i nuovi del forum hanno un "bonus" iniziale di comprensione, ma la regola è che sta a te proporre la soluzione o dire esplicitamente quale passaggio non ti è chiaro
insomma, la solita filosofia di non regalare pesci ma insegnare a pescare (o robbe giù di lì)
PS: benvenuta nel forum
i nuovi del forum hanno un "bonus" iniziale di comprensione, ma la regola è che sta a te proporre la soluzione o dire esplicitamente quale passaggio non ti è chiaro
insomma, la solita filosofia di non regalare pesci ma insegnare a pescare (o robbe giù di lì)
PS: benvenuta nel forum
Scrivi la matrice dei coefficienti ( è una matrice 3x3, quindi quadrata).Calcolane il valore del determinante e verifica per quali valori di h si annulla.
Per i valori di h per cui NON si annulla, il sistema ha una e una sola soluzione che puoi calcolare con la regola di Cramer .
I valori di h che annullano il determinante vanno studiati singolarmente e va visto quale sia il rango della matrice dei coefficienti ed anche quale sia il rango della matrice completa ( coefficienti + termine noto) .
Se i due ranghi sono uguali allora il Teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che esistono soluzioni ( come trovarle è un altro discorso); se i due ranghi sono diversi, sempre il T. di R-C ci assicura che il sistema non ha soluzioni.
Il caso h = -1 è molto semplice da risolvere e non dovresti avere problemi.
Ecco il mio contributo che equivale a un bonus ( come lo chiama Fioravante) abbastanza significativo
Per i valori di h per cui NON si annulla, il sistema ha una e una sola soluzione che puoi calcolare con la regola di Cramer .
I valori di h che annullano il determinante vanno studiati singolarmente e va visto quale sia il rango della matrice dei coefficienti ed anche quale sia il rango della matrice completa ( coefficienti + termine noto) .
Se i due ranghi sono uguali allora il Teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che esistono soluzioni ( come trovarle è un altro discorso); se i due ranghi sono diversi, sempre il T. di R-C ci assicura che il sistema non ha soluzioni.
Il caso h = -1 è molto semplice da risolvere e non dovresti avere problemi.
Ecco il mio contributo che equivale a un bonus ( come lo chiama Fioravante) abbastanza significativo
@Fioravante Patrone
Non pensavo di irritare qualcuno, mi scuso
il problema e' che ho molte difficolta' con le astrazioni dell'algebra lineare
se qualcuno ha un dubbio e se si fosse trattato di chimica per
quanto mi riguarda
sarei stata lieta di dara una mano
nel caso del sistema penso che la soluzione piu' logica
sia quella di calcolare il rango per vedere
se e' risolubile e poi applicare il metodo di Gauss...
ma mi imballo
ecco perche' ho chiesto aiuto ai frequentatori di questo forum
per avere un modello su cui ragionare, con la sicurezza di un procedimento giusto anche numericamente
Grazie, ciao
Non pensavo di irritare qualcuno, mi scuso
il problema e' che ho molte difficolta' con le astrazioni dell'algebra lineare
se qualcuno ha un dubbio e se si fosse trattato di chimica per
quanto mi riguarda
sarei stata lieta di dara una mano
nel caso del sistema penso che la soluzione piu' logica
sia quella di calcolare il rango per vedere
se e' risolubile e poi applicare il metodo di Gauss...
ma mi imballo
ecco perche' ho chiesto aiuto ai frequentatori di questo forum
per avere un modello su cui ragionare, con la sicurezza di un procedimento giusto anche numericamente
Grazie, ciao
@Anna.interfree
non c'è e non c'era nessuna irritazione. Solo, visti i tuoi post mi era sembrato il caso farti sapere questa abitudine che c'è su questo forum
vedrai che di forumisti disposti a dare una mano ce ne sono tanti
ciao
non c'è e non c'era nessuna irritazione. Solo, visti i tuoi post mi era sembrato il caso farti sapere questa abitudine che c'è su questo forum
vedrai che di forumisti disposti a dare una mano ce ne sono tanti
ciao
per il caso h=-1
la matrice associata al sistema
hx+(h-1)y=2-h
(h+1)x+(h-1)z=2h
2hx+(h^2 - h)z=h+2h^2 +1
e'
(-1 -2 0 -1)
(0 0 -2 -2)
(-2 0 0 2)
una soluzione e' x=-1 y=0 z=1 ??
per il sistema originale potreste indicarmi come semplificare ?
Ciao, Anna
la matrice associata al sistema
hx+(h-1)y=2-h
(h+1)x+(h-1)z=2h
2hx+(h^2 - h)z=h+2h^2 +1
e'
(-1 -2 0 -1)
(0 0 -2 -2)
(-2 0 0 2)
una soluzione e' x=-1 y=0 z=1 ??
per il sistema originale potreste indicarmi come semplificare ?
Ciao, Anna
Salve raga qualcuno mi sa dire come si diagonalizza una matrice?
Ad esempio questa:
$((3,-2),(-2,5))$
GRAZIE PER L'AIUTO!!!
Ad esempio questa:
$((3,-2),(-2,5))$
GRAZIE PER L'AIUTO!!!
"Tex87":
Salve raga qualcuno mi sa dire come si diagonalizza una matrice?
Ad esempio questa:
$((3,-2),(-2,5))$
Dovresti prima verificare che sia effettivamente diagonalizzabile.
Per farlo questo devi calcolarne gli autovalori e poi confrontare la molteplicità algebrica e geometrica di questi.
@ Annainterfree :
nel caso $h=-1 $ l'ultima riga della matrice è : $ -2 0 2 2 $ ; la soluzione è :
$x= 0 ; y=-3/2;z = 1$
nel caso $h=-1 $ l'ultima riga della matrice è : $ -2 0 2 2 $ ; la soluzione è :
$x= 0 ; y=-3/2;z = 1$
@Tex 87 :
la matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile tramite matrice di passaggio ortogonale.
In altre parole per una matrice simmetrica ( reale ) si trova sempre una base ortonormale di vettori .
la matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile tramite matrice di passaggio ortogonale.
In altre parole per una matrice simmetrica ( reale ) si trova sempre una base ortonormale di vettori .
Si ma qual'è la matrice diagonalizzata una volta accertato che essa è diagonalizzabile?
Calcola gli autovalori della matrice $ lambda_1 , lambda_2 $ ; la matrice diagonale simile a quella data sarà :
$((lambda_1,0),(0,lambda_2))$
$((lambda_1,0),(0,lambda_2))$
Praticamente bisogna mettere solo gli autovalori sulla diagonale principale e ovviamente,in quanto matrice diagonale,deve avere elementi nulli al di fuori della diagonale principale!!!
Giusto?
Giusto?
Siccome gli autovalori della matrice sopra indicata sono:
$lambda_1=4-sqrt{5}
$ lambda_2=4+sqrt{5}
la matrice diagonalizzata dovrebbe essere:
$((4-sqrt{5},0),(0,4+sqrt{5}))$
esatto?
P.s. cmq il mio esercizio completo era di diagonalizzare la seguente forma quadratica:
$9x_1^2-4x_1x_2+25x_2^2$
potreste controllare se è tutto corretto cortesemente vi ringrazio tantissimo,mi scuso se vi sto scocciando ma ho delle fotocopie sull'argomento dove per capire qualcosa ce ne vuole!!!!
GRAZIE!!!!!!!
$lambda_1=4-sqrt{5}
$ lambda_2=4+sqrt{5}
la matrice diagonalizzata dovrebbe essere:
$((4-sqrt{5},0),(0,4+sqrt{5}))$
esatto?
P.s. cmq il mio esercizio completo era di diagonalizzare la seguente forma quadratica:
$9x_1^2-4x_1x_2+25x_2^2$
potreste controllare se è tutto corretto cortesemente vi ringrazio tantissimo,mi scuso se vi sto scocciando ma ho delle fotocopie sull'argomento dove per capire qualcosa ce ne vuole!!!!
GRAZIE!!!!!!!
"Tex87":
Siccome gli autovalori della matrice sopra indicata sono:
$lambda_1=4-sqrt{5}
$ lambda_2=4+sqrt{5}
la matrice diagonalizzata dovrebbe essere:
$((4-sqrt{5},0),(0,4+sqrt{5}))$
esatto?
Tutto giusto.
Volendo puoi verificarlo cercando il cambio di coordinate che trasforma la matrice iniziale in quella diagonale.
Ti ringrazio tanto Eredir!!!!
Mi puoi spiegare con qualke esempio come faccio a verificare la correttezza dell'esercizio?
GRAZIE ANCORA!!!!!!
Mi puoi spiegare con qualke esempio come faccio a verificare la correttezza dell'esercizio?
GRAZIE ANCORA!!!!!!
"Tex87":
Mi puoi spiegare con qualke esempio come faccio a verificare la correttezza dell'esercizio?
Devi innanzitutto trovare la matrice del cambiamento di base.
Per fare questo scrivi le equazioni dei due autospazi corrispondenti agli autovalori che hai trovato.
Per $lambda_1=4-sqrt(5)$ ottieni $((3-(4-sqrt(5)),-2),(-2,5-(4-sqrt(5))))((x),(y))=((0),(0))$.
Questo autospazio è di dimensione 1 ed una possibile base è data dal vettore $v_1 = ((1/2(1+sqrt(5))),(1))$.
Similmente per $lambda_2=4+sqrt(5)$ una possibile base è data dal vettore $v_2 = ((1/2(1-sqrt(5))),(1))$.
A questo punto, assumendo che la base della matrice iniziale sia quella canonica, la matrice del cambiamento di base è data da $C = ((1/2(1+sqrt(5)),1/2(1-sqrt(5))),(1,1))$.
Quindi sfruttando la relazione di similitudine puoi scrivere $D = C^(-1)AC$, dove $A$ è la matrice da cui sei partito.
Se hai fatto tutto bene dovresti ottenere la matrice diagonale $D$ ottenuta mediante il calcolo degli autovalori.
Eredir scusa un'altra cosa che non so come risolvere(sempre per il problema dell'incomprensibilità delle fotocopie) è la seguente:
Data la matrice
$((2,4),(4,3))$
si determini la fattorizzazione derivante dal teorema spettrale, verificando la correttezza del risultato!!!!
Mi puoi spiegare in maniera semplice di cosa si tratta????
GRAZIE!!!!
Data la matrice
$((2,4),(4,3))$
si determini la fattorizzazione derivante dal teorema spettrale, verificando la correttezza del risultato!!!!
Mi puoi spiegare in maniera semplice di cosa si tratta????
GRAZIE!!!!
Qualcuno mi può aiutare???
"Tex87":
si determini la fattorizzazione derivante dal teorema spettrale, verificando la correttezza del risultato!!!!
Mi puoi spiegare in maniera semplice di cosa si tratta????
Mi dispiace, ma non so cosa si intende per fattorizzazione derivante dal teorema spettrale.
C'è qualcuno che sa cosa significa? E se si come si risolve???
GRAZIE!!!!
GRAZIE!!!!
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