Simmetrico di un piano rispetto ad un altro piano.
Salve, devo trovare il piano simmetrico \(\displaystyle \beta' \) di un piano \(\displaystyle \beta \) rispetto ad un piano \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \alpha:x+y-1=0 \)
\(\displaystyle \beta:x+2y-2z=0 \)
\(\displaystyle \beta':2x+y+2z-3=0 \) (risultato)
Io ho pensato di trovare un retta che congiunga il punto \(\displaystyle v_\beta(1,2,-2) \) rappresentato dal vettore perpendicolare a \(\displaystyle \beta \) con la proiezione ortogonale su \(\displaystyle \alpha \). Questa retta è \(\displaystyle P(t)=(1,2,-2)+t(1,1,0) \).
\(\displaystyle P(0)=v_\beta \), \(\displaystyle P(-1) \) è invece il punto di proiezione di \(\displaystyle v_\beta \) su \(\displaystyle \alpha \).
Ho concluso che il simmetrico a tale punto non può che trovarsi in \(\displaystyle t=-2 \). Ma il risultato non è corretto.
\(\displaystyle P(-2)=(-1,0,-2)\Rightarrow\beta':-x-2z+d=0 \)
\(\displaystyle \alpha:x+y-1=0 \)
\(\displaystyle \beta:x+2y-2z=0 \)
\(\displaystyle \beta':2x+y+2z-3=0 \) (risultato)
Io ho pensato di trovare un retta che congiunga il punto \(\displaystyle v_\beta(1,2,-2) \) rappresentato dal vettore perpendicolare a \(\displaystyle \beta \) con la proiezione ortogonale su \(\displaystyle \alpha \). Questa retta è \(\displaystyle P(t)=(1,2,-2)+t(1,1,0) \).
\(\displaystyle P(0)=v_\beta \), \(\displaystyle P(-1) \) è invece il punto di proiezione di \(\displaystyle v_\beta \) su \(\displaystyle \alpha \).
Ho concluso che il simmetrico a tale punto non può che trovarsi in \(\displaystyle t=-2 \). Ma il risultato non è corretto.
\(\displaystyle P(-2)=(-1,0,-2)\Rightarrow\beta':-x-2z+d=0 \)
Risposte
La risposta è che il procedimento descritto funziona solo per piani passanti per l'origine. Quindi devo considerare \(\displaystyle \alpha:x+y=0 \). Troverò il vettore direttore del piano, poi mi servirà solo prendere un punto del piano (usando l'intersezione tra \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) per trovare l'incognita \(\displaystyle d \) (termine noto dell'equazione di \(\displaystyle \beta' \))).
Se conoscete metodi più rapidi fatelo sapere però.
Se conoscete metodi più rapidi fatelo sapere però.
"aldoxz":
Tra i piani di questo fascio occorre cercare i $beta'$ tali che $alpha$ bisechi i diedri formati da $beta,beta'$.
È esattamente così che spiega anche la soluzione in mio possesso. Non ci ho capito niente li e non capisco niente neanche di questa. Semmai dovessi risolvere un esercizio simile credo che farò come ho detto. È più intuitivo.
"aldoxz":
Potrei farti un disegnino per mostrare come il piano $alpha$ divide in parti uguali gli "angoli" formati
dai piani $beta$ e $beta'$ ma temo che sarebbe inutile: sono troppe le cose che ignori !
Tra le cose che non conosci c'è sicuramente la buona educazione...
P.S. Puoi rispondere come ti pare. Non perderò altro tempo con te : è difficile combattere contro l'ignoranza presuntuosa.
Caspita, questa proprio no me l'aspettavo.
Non mi sembrava proprio di essere stato scortese e se hai avuta la percezione che lo sia stato, non era mia intenzione.
Chiedo venia, ma non ho idea per cosa.
Grazie comunque.
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