Simmetria complessa
Come funziona la simmetria nei numeri complessi sul piano di Gauss?
Per quanto riguarda la simmetria rispetto a un punto P ho che $f_P(z)=-(z-P)+P=-z+2P$. Quindi ad esempio il simmetrico di $2+2i$ rispetto al punto $1+i$ è $0$. Questo dovrebbe bastare per quanto riguarda la simmetria rispetto a un punto (confermate?).
Come posso studiare la simmetria rispetto ad una retta?
Per quanto riguarda la simmetria rispetto a un punto P ho che $f_P(z)=-(z-P)+P=-z+2P$. Quindi ad esempio il simmetrico di $2+2i$ rispetto al punto $1+i$ è $0$. Questo dovrebbe bastare per quanto riguarda la simmetria rispetto a un punto (confermate?).
Come posso studiare la simmetria rispetto ad una retta?
Risposte
per farti un'idea di quello che puoi fare o non fare nei complessi, tieni sempre a mente che topologicamente $CC\sim RR^2$.
però studiare una retta nel piano lo puoi fare (però il concetto di simmetrico è un concetto affine, quindi devi pensare ad $A^2(RR)$
).
Cosa vuol dire una retta nel piano di Gauss (i.e. una retta in $CC$)?... idealmente se interpreti una retta come un'equazione $y=mx+q$ allora puoi pensare a una retta nel piano complesso come l'insieme $\{z=x+iy:\ y=mx+q\}={z:\ z=x+i(mx+q)}$ però ha senso definire tale oggetto? (scritto così studiare le simmetrie rispetto a aquesta retta è identico (?) a studiarle nel piano reale...)
però studiare una retta nel piano lo puoi fare (però il concetto di simmetrico è un concetto affine, quindi devi pensare ad $A^2(RR)$
).Cosa vuol dire una retta nel piano di Gauss (i.e. una retta in $CC$)?... idealmente se interpreti una retta come un'equazione $y=mx+q$ allora puoi pensare a una retta nel piano complesso come l'insieme $\{z=x+iy:\ y=mx+q\}={z:\ z=x+i(mx+q)}$ però ha senso definire tale oggetto? (scritto così studiare le simmetrie rispetto a aquesta retta è identico (?) a studiarle nel piano reale...)
Chiedo scusa, ho postato due volte una domanda molto simile.
Si possono unire i due post? Grazie
Si possono unire i due post? Grazie
https://www.matematicamente.it/forum/sim ... 47016.html
qui almeno si ha il link all'altro topic (per la dispensaproposta da dissonance), chiudo l'altro.
qui almeno si ha il link all'altro topic (per la dispensaproposta da dissonance), chiudo l'altro.
Supponiamo di avere la retta $(sqrt(3)+i)z+(sqrt(3)-i)\barz+2=0$.
Il suo coefficiente angolare è $sqrt(3)$ e la sua intercetta è $i$.
Il primo passo da eseguire è traslare la retta in modo che passi per l'origine.
Allora devo effettuare una traslazione di vettore $-2$.
Ottengo $(sqrt(3)+i)z+(sqrt(3)-i)\barz=0$. Fino a qui e' giusto?
Poi come posso gestire la rotazione della retta per farla coincidere con l'asse reale?
Il suo coefficiente angolare è $sqrt(3)$ e la sua intercetta è $i$.
Il primo passo da eseguire è traslare la retta in modo che passi per l'origine.
Allora devo effettuare una traslazione di vettore $-2$.
Ottengo $(sqrt(3)+i)z+(sqrt(3)-i)\barz=0$. Fino a qui e' giusto?
Poi come posso gestire la rotazione della retta per farla coincidere con l'asse reale?
Esempio concreto:
Sia data la retta $(1+i)z+(1-i)\barz+2=0$. Calcolare il simmetrico di $-1+2i$ rispetto alla retta.
Seguendo la spiegazione data nella dispensa otterrei $sigma_r(z)=i\barz$ quindi il simmetrico del punto dato sarebbe $2-i$.
Ma graficamente si nota che questo risultato è sbagliato (infatti il risultato corretto è $1$). Dove sta il problema?
Sia data la retta $(1+i)z+(1-i)\barz+2=0$. Calcolare il simmetrico di $-1+2i$ rispetto alla retta.
Seguendo la spiegazione data nella dispensa otterrei $sigma_r(z)=i\barz$ quindi il simmetrico del punto dato sarebbe $2-i$.
Ma graficamente si nota che questo risultato è sbagliato (infatti il risultato corretto è $1$). Dove sta il problema?
Risolto. Errore di calcolo. 
Mi rimane ancora un dubbio.
A pagina 5 è scritto:
$f(z)=(az+b)/(cz+d)$
$f^*(C)={z\inD:f(z)\inC}={z\inD:Af(z)\bar(f(z))+\barBf(z)+B\bar(f(z))+C=0}={z\inD:A'z\barz+\bar(B')z+B'\barz+C'=0}$
Si pone:
$A'=Aa\bara+\barBa\barc + B\barac + Cc\barc$
$B'= A|bar ab + \bar Bb\bar c + B\bar ad + Cd\bar c$
$C'= Ab\bar b + \bar Bb \bar d + B\bar bd + Cd \bar d$
La mia domanda è: come sono stati ricavati i valori di $A'$,$B'$,$C'$?
Mi rimane ancora un dubbio.
A pagina 5 è scritto:
$f(z)=(az+b)/(cz+d)$
$f^*(C)={z\inD:f(z)\inC}={z\inD:Af(z)\bar(f(z))+\barBf(z)+B\bar(f(z))+C=0}={z\inD:A'z\barz+\bar(B')z+B'\barz+C'=0}$
Si pone:
$A'=Aa\bara+\barBa\barc + B\barac + Cc\barc$
$B'= A|bar ab + \bar Bb\bar c + B\bar ad + Cd\bar c$
$C'= Ab\bar b + \bar Bb \bar d + B\bar bd + Cd \bar d$
La mia domanda è: come sono stati ricavati i valori di $A'$,$B'$,$C'$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo