Simmetria
salve a tutti!
come faccio a trovare il piano simmetrico del piano 3x-y+2z=2 rispetto a piano 2x-y+z=2?
come faccio a trovare il piano simmetrico del piano 3x-y+2z=2 rispetto a piano 2x-y+z=2?
Risposte
Siano $\alpha,\beta$ i piani dati. Il piano cercato ( che chiameremo $\gamma$) fa parte del fascio determinato dai primi due piani che ha quindi come equazione la seguente:
(1) $(3\lambda+2\mu)x+(-\lambda-\mu)y+(2\lambda+\mu)z=2\lambda+2\mu$
Per determinare in questo fascio il piano simmetrico voluto, occorre imporre la condizione che i coseni degli angoli $\alpha\gamma$ e $\beta\gamma$ siano uguali in valore assoluto. Ricordando che tali angoli sono uguali ( o supplementari) di quelli formati dalle normali ai rispettivi piani e facendo qualche calcolo deve aversi :
$|14\lambda+9\mu|/{\sqrt 7}=|9\lambda+6\mu|/{\sqrt3}$
A meno di un inessenziale fattore di proporzionalità, le soluzioni sono :
$\lambda=\pm3,\mu=\sqrt{21}$
Sostituendo tali valori nella (1), si ottengono le equazioni dei due piani che risolvono il quesito:
$(\pm9+2\sqrt{21})x-(\pm 3+\sqrt{21})y+(\pm 6+\sqrt{21})z=\pm 6+2\sqrt{21}$
(1) $(3\lambda+2\mu)x+(-\lambda-\mu)y+(2\lambda+\mu)z=2\lambda+2\mu$
Per determinare in questo fascio il piano simmetrico voluto, occorre imporre la condizione che i coseni degli angoli $\alpha\gamma$ e $\beta\gamma$ siano uguali in valore assoluto. Ricordando che tali angoli sono uguali ( o supplementari) di quelli formati dalle normali ai rispettivi piani e facendo qualche calcolo deve aversi :
$|14\lambda+9\mu|/{\sqrt 7}=|9\lambda+6\mu|/{\sqrt3}$
A meno di un inessenziale fattore di proporzionalità, le soluzioni sono :
$\lambda=\pm3,\mu=\sqrt{21}$
Sostituendo tali valori nella (1), si ottengono le equazioni dei due piani che risolvono il quesito:
$(\pm9+2\sqrt{21})x-(\pm 3+\sqrt{21})y+(\pm 6+\sqrt{21})z=\pm 6+2\sqrt{21}$
grazie! 
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