Similitudine di matrici sulla chiusura algebrica.
Sia $\mathbbK$ un campo e sia $\mathbbF$ la sua chiusura algebrica.
Siano $A,B \in M_n(\mathbbK)$ matrici quadrate a coefficienti nel campo $\mathbbK$.
Dimostrare che:
$A$ e $B$ sono simili su $\mathbbK$ se e solo se sono simili su $\mathbbF$
cioè: $\exists M \in GL_n(\mathbbK) : B=M^{-1}AM \iff \exists N \in GL_n(\mathbbF) : B=N^{-1}AN$.
$=>$ : ovvio.
Manca $\Leftarrow$.
Siano $A,B \in M_n(\mathbbK)$ matrici quadrate a coefficienti nel campo $\mathbbK$.
Dimostrare che:
$A$ e $B$ sono simili su $\mathbbK$ se e solo se sono simili su $\mathbbF$
cioè: $\exists M \in GL_n(\mathbbK) : B=M^{-1}AM \iff \exists N \in GL_n(\mathbbF) : B=N^{-1}AN$.
$=>$ : ovvio.
Manca $\Leftarrow$.
Risposte
Qualcuno saprebbe consigliarmi un libro dove vengono trattate queste cose?
Ti accontenti di una soluzione che vada bene in caratteristica zero?
"pic":
Ti accontenti di una soluzione che vada bene in caratteristica zero?
Certo che mi accontento!
Urca, mi dispiace ma quella a cui avevo pensato non va bene. :S
Conosco la dimostrazione se i due campi sono $RR$ e $CC$, e forse so come generalizzarla se $mathbbF$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita su $mathbbK$ e se $mathbbK$ ha un numero infinito di elementi.
"NightKnight":
Conosco la dimostrazione se i due campi sono $RR$ e $CC$, e forse so come generalizzarla se $mathbbF$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita su $mathbbK$ e se $mathbbK$ ha un numero infinito di elementi.
se una matrice ha coefficenti in $F$ chiusura algebrica di $K$, ne ha comunque un numero finito $n*n$ quindi puoi sempre supporre che la matrice $N in K(a_11,...,a_(n n))$ che è algebrico su $K$ e ha dim finita come spazio vettoriale. questo magari può aiutarti.
eh, non ci avevo pensato..Nei prossimi giorni ci penserò e posterò la dimostrazione di quello che riuscirò a dimostrare.
Ma nemmeno in libri avanzati di algebra si trova una dimostrazione di questo fatto, che a mio avviso dovrebbe essere importante?
Ma nemmeno in libri avanzati di algebra si trova una dimostrazione di questo fatto, che a mio avviso dovrebbe essere importante?
[size=150]Siano $K \subseteq F$ campi. $F$ algebrico su $K$. $K$ infinito.
Siano $A,B \in M_n(K) \subseteq M_n(F)$ matrici quadrate $n \times n$ a coefficienti in $K$.
Allora $A$ e $B$ sono simili su $K$ se e solo se sono simil[/size]i su $F$.[/size]
Dim: $\Rightarrow$) banale.
$\Leftarrow$) Sia $M \in GL_n(F)$ tale che $M^{-1} A M = B$. Allora $AM=MB$.
Siano $\{ m_{i,j} \}_{1 \leq i,j \leq n}$ le entrate della matrice $M$ che sono quindi elementi di $F$.
Pongo $E=K(\{ m_{i,j} \}_{1 \leq i,j \leq n})$ il più piccolo campo contenuto in $F$ contenente $K$ e le entrate di $M$.
Allora $K \subseteq E \subseteq F$. Allora si vede che $E \supseteq K$ è un'estensione algebrica (perché $F \supseteq K$ è un'estensione algebrica) e finitamente generata, quindi è un'estensione finita. Sia $\{e_1,...,e_k}$ una base dello spazio vettoriale $E$ su $K$.
Quindi ogni elemento di $E$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di $e_1,...,e_k$ a coefficienti in $K$.
Perciò esistono e sono uniche matrici $C_1,...,C_k \in M_n(K)$ tali che $M=\sum_{i=1}^k e_i C_i = e_1 C_1 + ... + e_k C_k$.
Ora pongo $\forall \lambda_1,...,\lambda_k \in K, \ N_{lambda_1,...,\lambda_k} := \sum_{i=1}^k lambda_i C_i = lambda_1 C_1 + ... + lambda_k C_k \in M_n(K)$.
Da $AM=MB$ segue che $\forall i=1,...,k \ A C_i = C_i B$ e quindi $\forall \lambda_1,...,\lambda_k \in K, \ A N_{lambda_1,...,\lambda_k} = N_{lambda_1,...,\lambda_k} B$.
Ora facciamo vedere che tra le $N_{lambda_1,...,\lambda_k}$ c'è almeno una matrice invertibile e questo proverà la tesi.
Considero il polinomio $P(X_1,...,X_k) = det (N_{X_1,...,X_k}) = det (\sum_{i=1}^k X_i C_i) \in K[X_1,...,X_k] \subseteq E[X_1,...,X_k]$. Da $M \in GL_n(E)$ si ha che $P(e_1,...,e_k)= det M != 0$, quindi $P$ non è il polinomio nullo. Ma allora poiché $K$ è infinito esistono $\lambda_1,...,\lambda_k \in K$ tali che $det N_{\lambda_1,...,\lambda_k} = P(\lambda_1,...,\lambda_k) != 0$.
Siano $A,B \in M_n(K) \subseteq M_n(F)$ matrici quadrate $n \times n$ a coefficienti in $K$.
Allora $A$ e $B$ sono simili su $K$ se e solo se sono simil[/size]i su $F$.[/size]
Dim: $\Rightarrow$) banale.
$\Leftarrow$) Sia $M \in GL_n(F)$ tale che $M^{-1} A M = B$. Allora $AM=MB$.
Siano $\{ m_{i,j} \}_{1 \leq i,j \leq n}$ le entrate della matrice $M$ che sono quindi elementi di $F$.
Pongo $E=K(\{ m_{i,j} \}_{1 \leq i,j \leq n})$ il più piccolo campo contenuto in $F$ contenente $K$ e le entrate di $M$.
Allora $K \subseteq E \subseteq F$. Allora si vede che $E \supseteq K$ è un'estensione algebrica (perché $F \supseteq K$ è un'estensione algebrica) e finitamente generata, quindi è un'estensione finita. Sia $\{e_1,...,e_k}$ una base dello spazio vettoriale $E$ su $K$.
Quindi ogni elemento di $E$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di $e_1,...,e_k$ a coefficienti in $K$.
Perciò esistono e sono uniche matrici $C_1,...,C_k \in M_n(K)$ tali che $M=\sum_{i=1}^k e_i C_i = e_1 C_1 + ... + e_k C_k$.
Ora pongo $\forall \lambda_1,...,\lambda_k \in K, \ N_{lambda_1,...,\lambda_k} := \sum_{i=1}^k lambda_i C_i = lambda_1 C_1 + ... + lambda_k C_k \in M_n(K)$.
Da $AM=MB$ segue che $\forall i=1,...,k \ A C_i = C_i B$ e quindi $\forall \lambda_1,...,\lambda_k \in K, \ A N_{lambda_1,...,\lambda_k} = N_{lambda_1,...,\lambda_k} B$.
Ora facciamo vedere che tra le $N_{lambda_1,...,\lambda_k}$ c'è almeno una matrice invertibile e questo proverà la tesi.
Considero il polinomio $P(X_1,...,X_k) = det (N_{X_1,...,X_k}) = det (\sum_{i=1}^k X_i C_i) \in K[X_1,...,X_k] \subseteq E[X_1,...,X_k]$. Da $M \in GL_n(E)$ si ha che $P(e_1,...,e_k)= det M != 0$, quindi $P$ non è il polinomio nullo. Ma allora poiché $K$ è infinito esistono $\lambda_1,...,\lambda_k \in K$ tali che $det N_{\lambda_1,...,\lambda_k} = P(\lambda_1,...,\lambda_k) != 0$.
La mia dimostrazione usa in modo essenziale il fatto che $K$ sia infinito: infatti se $K$ fosse un campo finito allora $K=F_{p^h}$ e quindi il polinomio $X^{p^h} - X$ è non nullo, ma se valutato in ogni elemento di $K=F_{p^h}$ fa zero.
Mi chiedevo quindi se potesse essere indebolita l'ipotesi che $K$ sia infinito.
Mi chiedevo quindi se potesse essere indebolita l'ipotesi che $K$ sia infinito.
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