Significato geometrico del prodotto scalare e vettoriale

[paolodocet]

Buon pomeriggio a tutti ragazzi. Ho un problema a comprendere il significato geometrico del prodotto scalare e vettoriale tra due vettori.

Considerando due vettori in $R^3$:

$v(a_1,b_1,c_1)$
$w(a_2,b_2,c_2)$

il prodotto scalare può essere considerato una funzione che prende in input due vettori e che restituisce una scalare. Esso è definito nel seguente modo:

$ = (a_1 * a_2 + b_1 * b_2 + c_1 * c_2)$

Inoltre sappiamo anche che il prodotto scalare

$ = ||v||* ||w|| cos(α)$

dove α è l'angolo compreso tra i due vettori.

Per quanto riguarda invece il prodotto vettoriale, esso può essere visto come una funzione che prende in input due vettori e che restituisce un vettore dello stesso spazio dei vettori di partenza(nel caso dei vettori $v$ e $w$ di $R^3$).

Possiamo esprimerlo nel seguente modo:

$ v X w = a_2 * b_3 - a_3 * b_2, a_3 * b_1 - a_1 * b_3, a_1 * b_2 - a_2 * b_1 .$

Tale formula è ottenibile anche considerando il determinante della matrice la cui prima riga è costituita dai versori degli assi e le altre due dalle componenti dei due vettori.

Non riesco a comprendere però, nel caso del prodotto scalare tra due vettori, cosa rappresenta, geometricamente parlando lo scalare che trovo?
E nel caso del prodotto vettoriale, che cosa rappresenta il vettore a livello geometrico?

[Alexp1]

Ciao,
generalmente il significato geometrico del prodotto vettoriale è legato al valore dell'area del parallelogramma individuato dai due vettori che si stanno moltiplicando... esattamente tale area è data proprio dal modulo del prodotto vettoriale.

Per quanto riguarda il prodotto scalare, esso trova la sua tipica applicazione in fisica nel concetto di Lavoro... quando una forza subisce uno spostamento vi è Lavoro ed il suo valore è appunto dato dal prodotto scalare fra il vettore forza ed il vettore spostamento.