Significato del determinante per matrici 2x2

[paolo19951]

Ciao a tutti, non riuscivo a svolgere questo esercizio, ne tantomeno a iniziarlo anche se so un po di teoria sui determinanti:

A) Dati 2 vettori generici (a, c) e (b, d) in R^2 si dimostri che il determinante della matrice che ha i due vettori per colonne non cambia se ruotiamo entrambi i vettori di uno stesso angolo alfa.Ricordiamo che tale rotazione corrisponde a un applicazione lineare che è data (nella base canonica) dalla matrice con la prima riga (cos (alfa) sin (alfa)) e la seconda riga ((-sin (alfa) cos(alfa))

L esercizio è questo ma come ho già scritto non so neppure da cosa iniziare (non ho mai sentito parlare di rotazioni varie)....grazie per l aiuto!!!

[minomic]

Ciao, chiami $v_1$ e $v_2$ i due vettori e poi chiami $M$ la matrice data dal testo.
Devi mostrare che il determinante della matrice ottenuta affiancando $v_1$ e $v_2$ è uguale al determinante ottenuto affiancando $Mv_1$ e $Mv_2$.

[paolo19951]

Nella primo punto devo affiancare v1 e v2 alla matrice M:

cos a ............ sin b
-sin c ............ cos d

. Il determinante viene cos^2 (alfa) ad+sin^2 (alfa) bc
mentre nel secondo punto mi viene la matrice

cos a + sin c ............. cos b + sin d
-sin a + cos c ............ -sin b + cos d

Il cui determinante è cos^2 ad - cos^2 cb + sin^2 ad - sin^2 cb

Il determinante dei 2 mi viene diverso

[minomic]

No, prima devi affiancare $v_1$ e $v_2$. Ottieni la matrice
\[
\begin{bmatrix}
a&b\\c&d
\end{bmatrix}
\] Il cui determinante è $ad-bc$.
Ora fai il prodotto $Mv_1$ e ottieni un vettore, poi fai il prodotto $Mv_2$ e ottieni un altro vettore. Poi li affianchi e calcoli il determinante. Alla fine ti ritrovi nuovamente $ad-bc$.

Nota: Dovrai utilizzare l'identità \[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\] per semplificare

[paolo19951]

Grazie mille!!!Credo ora mi sia venuto.il risultato era come prima ma dovevo semplificare con la formula che hai scritto:
(Cos^2+sin^2) ad-(cos^2+sin^2) bc = ad-bc