Sigma-algebra e topologia

[Kroldar]

Un recente post di Thomas mi ha fatto ricordare una domanda che mi posi tempo fa, quando studiavo per la prima volta probabilità... le condizioni che gli elementi di una sigma-algebra devono rispettare sono in parte simili a quelle per gli aperti di una topologia, magari considerando aperti e chiusi assieme in modo da rispettare la chiusura rispetto al complementare... Esiste un nesso tra il concetto di sigma-algebra e quello di topologia? Ci sono casi di classi che su un dato insieme costituiscono sia una sigma-algebra che una topologia?

[Fioravante Patrone1]

per quanto mi riguarda, il nesso più rilevante è dato dalle sigma-algebre che sono generate da una topologia: si parla di sigma algebra di Borel, associata alla topologia: è la più piccola sigma algebra che contiene tutti gli aperti (e quindi anche tutti i chiusi)

queste sono importanti perché garantiscono una significativa compatibilità fra proprietà topologiche e la proprietà di misurabilità


per il caso in cui una famiglia di sottoinsiemi di un dato insieme è sia sigma algebra che topologia, non ho presente casi interessanti (di per sé o per qualche applicazione). Non dubito che ce ne siano, anche se propendo a pensare che si tratti di applicazioni "di nicchia"
Aggiungo, come considerazione generale, che a mio parere di per sé non è molto significativo il fatto che due strutture di tipo diverso vengano a coincidere. Intendo dire: si tratta di un fatto curioso, ma non importante. Questo come "thumb rule"

ciao e buona giornata